確率論を学ぶ目次

第1章測度論からの準備

1.1節可測空間と測度

1.1 可測空間と測度

1.1.1 測度空間

定義1.1.1.1 σ-加法族

定義1.1.1.2 可測空間

定義1.1.1.3 測度と確率測度

定義1.1.1.4 測度空間

命題1.1.1.6 集合列の上下極限

命題1.1.1.9 σ-加法族の性質

命題1.1.1.11 測度の性質

補題1.1.1.13 Fatou

補題1.1.1.15 Borel-Cantelli

1.1.2 Borel集合とBorel測度

定理1.1.2.1 σ-加法族の生成

定義1.1.2.3 Borel集合

定理1.1.2.4 ℝ^dのBorel集合

定理1.1.2.6 ℝ^d上のBorel測度

定義1.1.2.9 測度の完備性

定理1.1.2.10 測度空間の完備化

1.1.3 実数のコンパクト化

1.2節可測関数と積分

1.2 可測関数と積分

1.2.1 可測関数

定義1.2.1.1 可測写像

補題1.2.1.3 可測関数の条件

命題1.2.1.5 可測関数の合成

命題1.2.1.7 可測関数の構成(Ⅰ)

命題1.2.1.9 可測関数の構成(Ⅱ)

命題1.2.1.11 可測関数の構成(Ⅲ)

1.2.2 単関数

定義1.2.2.1 定義関数

定義1.2.2.2 単関数

定理1.2.2.6 非負可測関数の特徴付け

定理1.2.2.9 可測関数の特徴付け

定義1.2.3.1 非負単関数の積分

命題1.2.3.4 非負単関数の積分の性質

定義1.2.3.9 非負可測関数の積分

定義1.2.3.10 可積分関数の積分

命題1.2.3.11 積分の性質

定義1.2.3.13 複素関数の積分

1.2.4 積分の収束定理

定理1.2.4.1 級数

定理1.2.4.3 単調増加列

命題1.2.4.5 集合列

定理1.2.4.7 Fatou

定理1.2.4.9 Lebesgue

定義1.2.4.11 ほとんど至る所

1.2.5 直積測度空間

定義1.2.5.4 σ-有限

定理1.2.5.12 Fubini(非負)

定理1.2.5.14 Fubini(可積分)

定理1.2.5.19 Lebesgue-Fubini

1.3節 Lebesgue積分

1.3 Lebesgue積分

1.3.1 Carathéodoryの測度論

定義1.3.1.1 外測度

定理1.3.1.2 測度の構成

定義1.3.1.4 有限加法族

定義1.3.1.5 Jordan測度

定理1.3.1.6 E.Hopf

1.3.2 Lebesgue測度

定理1.3.2.3 測度の存在

定理1.3.2.9 非可測集合の存在

定理1.3.2.11 Riemann積分との関係

1.4節 Lebesgue空間
1.5節関数概念の拡張

1.5 関数概念の拡張

1.5.1 線形位相空間

定義1.5.1.1 線形位相空間

定義1.5.1.5 Fréchet空間

1.5.2 畳み込み

定義1.5.2.6 畳み込み

定義1.5.2.14 単位の近似

定義1.5.2.15 総和核

補題1.5.2.20 軟化子

1.5.3 Radon測度

定理1.5.3.7 Riesz

1.5.4 Schwartzの超関数

定義1.5.4.9 超関数

例1.5.4.10 局所可積分関数

例1.5.4.11 Radon測度

例1.5.4.12 Diracのδ測度

例1.5.4.13 Heaviside関数

命題1.5.4.14 線形結合

命題1.5.4.16 C^∞級関数との積

命題1.5.4.18 一階微分

命題1.5.4.20 高階微分

例1.5.4.22 Heaviside関数

定義1.5.4.23 超関数の収束

命題1.5.4.30 項別微分

1.5.5 緩増加超関数

定義1.5.5.8 緩増加超関数

命題1.5.5.13 急減少関数との積

命題1.5.5.15 多項式との積

1.6節 Fourier解析

1.6 Fourier解析

1.6.2 総和法

命題1.6.2.3 Fejér核

1.6.3 多変数Fourier級数

定義1.6.3.2 Fourier級数

1.6.4 Fourier変換

定義1.6.4.1 Fourier変換

定義1.6.4.2 Fourier逆変換

定理1.6.4.7 反転公式

定義1.6.4.16 緩増加超関数

第2章漸近近似

2.1節漸近近似の基礎

2.1 漸近近似の基礎

2.1.1 Landauの記号

定義2.1.1.2 低位と高位

定義2.1.1.3 高々同位

定義2.1.1.4 同位

2.1.2 漸近展開

定義2.1.2.1 漸近的減少列

定義2.1.2.2 漸近展開

例2.1.2.3 Taylor展開

2.1.3 Euler-Maclaurinの公式

定義2.1.3.3 Bernoulli多項式

定理2.1.3.9 Euler-Maclaurin

2.1.4 Eulerの定数

2.1.5 参考文献

2.2節 Starlingの公式

第3章確率論の基礎

3.1節基本概念

3.1 基本概念

3.1.1 確率空間

Step 1. 測る方法を与える。

Step 2. 標本空間を定める。

Step 3. 事象族を定める。

Step 4. 確率測度を定める。

定義3.1.1.14 確率空間

3.1.2 確率変数

定義3.1.2.3 確率変数

定義3.1.2.6 ほとんど確実

定義3.1.2.7 平均値

定義3.1.2.10 分散

定理3.1.2.14 Chebyshevの不等式

系3.1.2.16 Chebyshevの不等式

命題3.1.3.2 分布関数の性質

命題3.1.3.4 分布

定義3.1.3.6 分布関数

定義3.1.3.10 離散測度

定義3.1.3.11 連続測度

定義3.1.3.14 密度関数

定義3.1.3.20 分布の平均と分散

定義3.1.3.21 結合分布

3.1.4 条件付確率

定義3.1.4.1 条件付確率

定理3.1.4.6 Bayes

3.1.5 参考文献

3.2節独立性

3.2.1 事象の独立性

定義3.2.1.1 事象の独立性

命題3.2.1.6 Borel-Cantelli

3.2.2 確率変数の独立性

定義3.2.2.1 確率変数の独立性

3.2.3 確率測度の畳み込み

定義3.2.3.1 確率測度の畳み込み

3.3節大数の法則

3.3 大数の法則

3.3.1 大数の弱法則

命題3.3.1.2 大数の弱法則

3.3.2 大数の強法則

命題3.3.2.2 大数の強法則

3.4節中心極限定理

3.4 中心極限定理

3.4.1 分布の収束

定義3.4.1.1 弱収束

定義3.4.1.6 確率収束

定義3.4.1.7 法則収束

3.4.2 特性関数

定義3.4.2.2 特性関数

3.4.3 中心極限定理

定理3.4.3.2 中心極限定理

第4章離散分布

4.1節離散分布の基礎

4.1 離散分布の基礎

4.1.1 無限直積

定義4.1.1.6 無限直積

4.1.2 一次元離散分布

定義4.1.2.1 δ測度

命題4.1.2.4 一次元離散分布

4.1.3 確率母関数

定義4.1.3.3 確率母関数

4.1.4 参考文献

4.2節 Bernoulli分布

4.2 Bernoulli分布

4.2.1 確率空間

定義4.2.1.1 Bernoulli試行

4.2.2 確率変数と分布

4.2.3 平均と分散

4.3節二項分布

4.3 二項分布

4.3.1 確率空間

定義4.3.1.1 Bernoulli試行列

4.3.2 確率変数と分布

4.3.3 平均と分散

4.3.4 再生性

定理4.3.4.1 二項分布の再生性

4.3.5 グラフ

図4.3.5.4 二項分布

4.4節幾何分布

4.4 幾何分布

4.4.1 確率空間

4.4.2 確率変数と分布

4.4.3 平均と分散

4.4.4 グラフ

図4.4.4.4 幾何分布

4.5節 Poisson分布

4.5 Poisson分布

4.5.2 平均と分散

4.5.3 再生性

定理4.5.3.1 Poisson分布の再生性

4.5.4 二項分布のPoisson近似

定理4.5.4.3 Poisson

4.5.5 Poisson分布の正規近似

4.5.6 グラフ

図4.5.6.4 Poisson分布

図4.5.6.8 二項分布との比較

図4.5.6.12 正規分布との比較

第5章連続分布

5.1節連続分布の基礎

5.1 連続分布の基礎

定義5.1.1.2 積率

定義5.1.1.3 積率母関数

5.1.2 変数変換

5.2節正規分布

5.2 正規分布

5.2.2 平均と分散

5.2.3 積率母関数

5.2.4 再生性

定理5.2.4.1 正規分布の再生性

5.2.5 de Moivre-Laplaceの定理

定理5.2.5.6 de Moivre-Laplace

5.2.6 グラフ

図5.2.6.4 正規分布

図5.2.6.8 二項分布との比較

5.3節指数分布

5.3 指数分布

5.3.2 平均と分散

5.4節 Γ分布

5.4.2 平均と分散

5.4.3 グラフ

図5.4.3.4 Γ分布

5.5節 χ²分布

5.5.2 平均と分散

5.5.3 積率母関数

5.5.4 再生性

定理5.5.4.1 χ²分布の再生性

5.5.5 正規分布の平方和

定理5.5.5.3 正規分布の平方和

5.5.6 グラフ

図5.5.6.4 χ²分布

第6章確率過程

6.1節 Poisson過程

6.1 Poisson過程

6.1.1 確率過程

定義6.1.1.2 確率過程

6.1.2 放射性崩壊

公理6.1.2.3 放射性崩壊

系6.1.2.7 半減期

6.1.3 待ち時間分布

系6.1.3.10 平均寿命

6.1.4 Poisson過程

定理6.1.4.9 Poisson過程

第7章統計的推測

第8章誤差論

第9章シミュレーション