確率過程とは時間によりパラメータ付けされた確率変数族{X_t}のことである。離散時間の場合はこれまで準備した確率論の枠組みで議論できる。しかし、連続時間の場合、例えば確率微分方程式について論じようとすると、関数空間に位相を入れ、そのBorel集合族により可測空間を構成し、その空間に値をもつ可測関数を考える必要が出てくる。当面そこまでは必要無いので、ここでは素朴な定義により確率過程を導入する。

 これからPoisson過程の概念を段階を追いながら構築していくが、放射線計測への応用を意識し、天下り式の定義ではなく、放射性崩壊がPoisson過程であることを解説しながら進めていく。しかし、論理的な厳密さは失わないようにしている。

 原子核の放射性崩壊を特徴付ける物理法則は次のように表現することができる。物理法則は数学の範囲では証明ができないので公理と考えることにする。

 この確率モデルにおいて、初期状態の個数が半数になるまでの時間を半減期はんげんき, half lifeという。半減期をTとすれば であるから、次が成り立つ。

 Poisson過程を構築する準備として、まず放射性崩壊が起こるまでの待ち時間の確率分布を求める。

 Δtを微小時間とすると、時間区間[(k－1)Δt,kΔt], k=1,2,⋯で崩壊するかどうかは、成功確率p = λΔtのBernoulli試行列と考えられる。そこで幾何分布の確率空間を考える。

 (Ω,,P)上の確率変数T_Δtとして崩壊までの待ち時間を考える。各根元事象ωについて最初に崩壊する項番号nをn(ω)と書いたときに

 分布μ_Δtは次のようになる。

 μ_ΔtはΔt → 0のとき指数分布に弱収束する。

 ここまでの結果をまとめる。

 時刻tにおける何らかの個数を表わす確率過程を計数過程けいすうかてい, counting processという。ここでは放射性崩壊の個数の時間的変化について調べるが、各崩壊は独立、すなわちある崩壊が他の崩壊に影響は与えないと仮定する。

 崩壊定数がλ ＞ 0であるような原子核が崩壊する過程を初期状態t = 0から最初に崩壊するまでの時間を確率変数T₁、k番目に崩壊したとき 前回の崩壊からの経過時間を確率変数T_kとするために、 の無限直積 を考える。確率変数列{T_n}_{n ∈ ℕ}は独立で各T_kは同一指数分布μ_λに従っている。

とすると{S_n}_{n ∈ ℕ∪{0}}はn回崩壊したときの時刻を表わす確率変数列となる。n ≧ 1のときS_nはΓ分布Γ(n,1/λ)に従う。

 ここで とおくと、N(t)は時刻tまでの崩壊数を表わす確率変数であり、{N(t)}_{t ∈ [0,∞)}は計数過程となる。各N(t)はPoisson分布に従うのであるが、これは一般に待ち時間が同一指数分布に従う独立事象列の時刻tまでの発生数について成り立つ。

 上の定理の仮定を満たす計数過程{N(t)}_{t ∈ [0,∞)}をPoisson過程ぽあそんかてい, Poisson processという。