5.1節連続分布の基礎

著者:梅谷武
語句:積率,積率母関数

積率と積率母関数について述べる。確率変数の密度関数形の変数変換の公式を示す。

作成:2012-02-18
更新:2012-03-02

5.1 連続分布の基礎

5.1.1 積率

特性関数はFourier変換であり、積率母関数はLaplace変換である。積率母関数はつねに存在するわけではなく、多くの場合、特性関数の方が使いやすいのであるが、問題によっては積率母関数の方が都合がいい場合もある。

定義5.1.1.2 積率

確率空間(Ω,

,P)上の実確率変数Xが与えられ、X^r, r = 0,1,2,⋯が可積分であるとき

E[X^r] =

∫

X(ω)^rP(dω)

∫

ℝ

x^rμ_X(dx)

を積率せきりつ, momentという。さらにm ≡ E[X}が存在し、(X－m)^r, r = 0,1,2,⋯が可積分であるとき

E[(X－m)^r] =

∫

(X(ω)－m)^rP(dω)

∫

ℝ

(x－m)^rμ_X(dx)

平均値mの回りのr次の積率という。

定義5.1.1.3 積率母関数

確率空間(Ω,

,P)上の実確率変数Xが与えられ、0を含む実数区間内のパラメータtに対しe^tXが可積分であるとき

M_X(t) ≡ E[e^tX] =

∫

e^tX(ω)P(dω)

∫

ℝ

e^txμ_X(dx)

を積率母関数せきりつぼかんすう, moment generating functionという。

命題5.1.1.4

確率空間(Ω,

,P)上の実確率変数Xが与えられ、0を含む実数区間内のパラメータtに対しe^tXが可積分であり、さらに0で微分可能であれば次が成り立つ。

M_X^(r)(0) = E[X^r], r = 0,1,2,⋯

証明

演習とする。■

同じLaplace変換をもつ関数は測度0の集合を除いて一致することがわかっており。次の性質が成り立つ。

命題5.1.1.7

確率空間(Ω,

,P)上の実確率変数X,Yが等しい積率母関数M_X(t) = M_Y(t)をもつならば、X = Y a.e.である。

証明

演習とする。■

5.1.2 変数変換

命題5.1.2.1

確率空間(Ω,

,P)上の実確率変数Xの分布μ_Xが密度関数fをもつとする。

μ_X(E) =

∫

f(x)dx

, E ∈

₁

このとき、XにC¹級で

dφ(x)

＞ 0 or ＜ 0

なる単調関数y = φ(x)を合成した確率変数φ(X)の分布μ_φ(X)は次の密度関数をもつ。

μ_φ(X)(E) =

∫

f(φ^－1(y))

dφ^－1(y)

, E ∈

₁

証明

演習とする。■

数　　学

積率せきりつ, moment
積率母関数せきりつぼかんすう, moment generating function