4.4節 幾何分布
著者:梅谷 武
語句:幾何分布
可算個のBernoulli試行列において成功するまでの試行回数により定まる幾何分布について述べる。
作成:2012-01-21
更新:2012-02-12
4.4 幾何分布
4.4.1 確率空間
 成功確率pのBernoulli試行列において、試行を成功するまで繰り返すことを考える。標本空間としては可算個のBernoulli試行列の空間が必要になる。

標本空間

Ω ≡
∞
∏
k = 1
ΩB
 = { ω = (ω1, ⋯, ωn, ⋯) ∣ ωn ∈ ΩB = { 0, 1 }, n ∈ ℕ }

事象族

F ≡
∞
∏
k = 1
FB

確率測度

P ≡
∞
∏
k = 1
PB
4.4.2 確率変数と分布
 (Ω,F,P)上の実確率変数Xとして次のものを考える。各根元事象ω
ω = (0, ⋯, 0, 1, ωn+1, ⋯), ω1 = ⋯ = ωn－1 = 0, ωn = 1, n ≧ 1
について最初に成功する項番号nをn(ω)と書いたときに

確率変数

X(ω) ≡ n(ω), ω ∈ Ω
 n ≧ 1に対して、
X－1(n) = {0} × ⋯ × {0} × {1} ×
∞
∏
k = n + 1
Ωk
であるから、次が成り立つ。
μX({n}) = P(X－1({n})) = pqn－1, n ≧ 1
 分布μXを幾何分布きかぶんぷ, geometric distributionといい、G(p)で表わす。

分布

μX =
∞
∑
n = 1
pqn－1δn
4.4.3 平均と分散
 qに関する冪級数∑nqnは収束円{ q ＜ 1 }内で一様収束するから、項別微分可能であり
d
dq
lb36
∞
∑
n = 0
qn rb36 =
1
(1－q)2
 =
∞
∑
n = 1
nqn－1
したがって

平均

    m
=
∫ 
 
ℝ
x lb36
∞
∑
n = 1
pqn－1δn
 rb36(dx)
=
∞
∑
n = 1
npqn－1 = p
∞
∑
n = 1
nqn－1
 =
p
(1－q)2
 =
1
p
 分散はσ2 = E[X2] － E[X]2により計算する。
E[X2]
=
∫ 
 
ℝ
x2 lb36
∞
∑
n = 1
pqn－1δn
 rb36(dx)
=
∞
∑
n = 1
n2pqn－1
この和を求めるため、まず
∞
∑
n = 0
nqn－1
 =
1
(1－q)2
の両辺にqをかけて微分すると
∞
∑
n = 0
n2qn－1
 =
1 + q
(1－q)3
よって、次のようになる。

分散

σ2 =
(1 + q)p
(1－q)3
 －
1
p2
 =
q
p2
4.4.4 グラフ

graph002.r

 G(p), p = 0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.25, 0.3を描く。
k <- 0:50
plot( k, dgeom( k, prob=0.3 ), type="l", xlab="", ylab="" )
points( k, dgeom( k, prob=0.25 ), type="l", col="red")
points( k, dgeom( k, prob=0.2 ), type="l", col="yellow")
points( k, dgeom( k, prob=0.15 ), type="l", col="green")
points( k, dgeom( k, prob=0.1 ), type="l", col="cyan")
points( k, dgeom( k, prob=0.05 ), type="l", col="blue")
legend( 35, 0.3,
  legend = c( "p = 0.3", "p = 0.25", "p = 0.2", "p = 0.15",
    "p = 0.1", "p = 0.05" ),
  col = c("black","red","yellow","green","cyan","blue"),
  lty = 1 )
図4.4.4.4 幾何分布
幾何分布
数　　学
幾何分布 きかぶんぷ, geometric distribution