5.2節 正規分布
著者:梅谷 武
語句:正規分布,Gauss分布,de Moivre-Laplaceの定理
正規分布について述べ、中心極限定理の原型であるde Moivre-Laplaceの定理をStarlingの公式を使って証明する。
作成:2012-01-27
更新:2012-02-26
これが確率測度を定めることを示す。
とおいて置換積分すると
であるから
となる。
| | |
| | | - | | e-t2 | | +
| | | = σ2 |
|
したがって
独立な確率変数
Xi, i = 1,⋯,nがそれぞれ正規分布
N(mi,σi2)に従っているとき、それらの一次結合
Y ≡ a0 + a1X1 + ⋯ + anXnは正規分布
N( a0 + a1m1 + ⋯ + anmn, a12σ12 + ⋯ + an2σn2 )
|
に従う。
証明
Xiの積率母関数を
Mi(t)とおくと
| | |
| | exp(a0t)
| n ∏ i = 1 | exp aimit + | | ai2σi2t2 |
|
|
|
|
| | exp (a0+a1m1+⋯+anmn)t +
| | (a12σ12+⋯+an2σn2)t2
|
|
■
成功確率
pのBernoulli試行列の第
n項までの和である二項分布
Bin(n,p)の
0≦k≦nにおける確率
を
n → ∞のとき、
Starlingの公式
n! ∼ √2πnnne-n, (n → ∞), n ∈ ℕ
|
で近似することを考える。
まず単純な代入により次が得られる。
x ≡ k - npとおくと右辺は
この
(1)の右側の項の対数をとり、
log(1+s)の級数展開を3次まで行なう。
| | |
| | -(np+x)log 1 + | | -
(nq-x)log 1 - | |
|
|
| | -(np+x) | | - | | + | | +
⋯
|
|
| | + (nq-x) | | + | | + | | +
⋯
|
|
| | |
これは
| 0, (n → ∞)
|
のとき
が成り立つ。
(1)の左側の項は
n → ∞で
に近づく。ここまでの結果を補題としてまとめる。
0 < p < 1, q ≡ 1 - pとし、
0≦k≦n, k,n ∈ ℕは
| 0, (n → ∞)
|
を満たすとする。このとき次が成り立つ。
| pkqn-k ∼
| | exp - | |
|
この補題を使って標準化した二項分布列は標準正規分布に法則収束するというde Moivre-Laplace定理を証明する。
0 < p < 1, q ≡ 1 - pとし、成功確率
pのBernoulli試行列の第
n項までの和を
Snとするとき、次が成り立つ。
lim n → ∞ | P a < | | ≦ b |
|
| =
| | |
|
証明
P a < | | ≦ b |
| | |
| | |
が成り立つ。
とおくと、
a<xk≦bより補題の条件が満たされるから、
とおけば、
n → ∞のとき
P a < | | ≦ b ∼
| |
|
この右辺は
に収束する。■
成功確率
pのBernoulli試行列
Xk, k =1,2,⋯の各項の平均は
p、分散は
pqであるから、これを標準化して
n項までの和を
√nで割ると
となり、de Moivre-Laplaceの定理は中心極限定理の特別な場合であることがわかる。
N(0,σ2), σ = 1, 1.5, 2, 2.5を描く。
x <- seq( -8, 8, 0.1 )
plot( x, dnorm( x, 0, 1.0 ), type="l", xlab="", ylab="" )
points( x, dnorm( x, 0, 1.5 ), type="l", col="red" )
points( x, dnorm( x, 0, 2.0 ), type="l", col="green" )
points( x, dnorm( x, 0, 2.5 ), type="l", col="blue" )
legend( 4, 0.4,
legend = c( "σ = 1.0", "σ = 1.5", "σ = 2.0", "σ = 2.5" ),
col = c("black","red","green","blue"),
lty = 1 )
Bin(n,0.1), n = 10, 30, 50, 100と平均、分散が同じ正規分布を比較する。
k <- 0:20
plot( k, dbinom( k, 10, prob=0.1 ), type="l", xlab="", ylab="",
ylim = c( 0.0, 0.5 ) )
points( k, dbinom( k, 30, prob=0.1 ), type="l", col="red")
points( k, dbinom( k, 50, prob=0.1 ), type="l", col="green")
points( k, dbinom( k, 100, prob=0.1 ), type="l", col="blue")
par(new=T)
x <- seq(0,20,0.1)
points( x, dnorm( x, 1, sqrt(10*0.1*0.9) ), type="l",
lty="dotted" )
points( x, dnorm( x, 3, sqrt(30*0.1*0.9) ), type="l",
col="red", lty="dotted" )
points( x, dnorm( x, 5, sqrt(50*0.1*0.9) ), type="l",
col="green", lty="dotted" )
points( x, dnorm( x, 10, sqrt(100*0.1*0.9) ), type="l",
col="blue", lty="dotted" )
legend( 15, 0.5,
legend = c( "n = 10", "n = 30", "n = 50", "n = 100" ),
col = c("black","red","green","blue"),
lty = 1 )
数 学
正規分布 せいきぶんぷ, normal distribution
Gauss分布 がうすぶんぷ, Gauss distribution
de Moivre-Laplaceの定理 どもあぶるらぷらすのていり, de Moivre-Laplace's theorem