第V巻 定義・命題目次
著者:Ευκλείδης(J.L.Heiberg, Ed.)
第V巻の定義・命題目次
作成:2006-09-18
更新:2011-03-10
Πολλαπλάσιον δὲ τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάττονος, ὅταν καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος.
ある量がより小さい量の
倍量ばいりょう, πολλαπλάσιος, multipleであるとは、小さい量でその量を測り切れることをいう。
ある量
αがより小さい量
βの倍量であるとは、自然数
mが存在して次が成り立つことをいう。
Λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητά ποια σχέσις.
比ひ, λόγος, ratioとは、同じ種類の二つの量の大きさに関するある種の関係である。
Λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα μεγέθη λέγεται, ἃ δύναται πολλαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν.
二つの量が互いに比をもつとは、何倍かすることで互いに他より大きくできることをいう。
二つの量
α,βが互いに比をもつとは、自然数
m,nが存在して次が成り立つことをいう。
このとき、
αと
βの比を
α:βと書く。
Ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη λέγεται εἶναι πρῶτον πρὸς δεύτερον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ὅταν τὰ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια τῶν τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου ἰσάκις πολλαπλασίων καθ᾽ ὁποιονοῦν
πολλαπλασιασμὸν ἑκάτερον ἑκατέρου ἢ ἅμα ὑπερέχῃ ἢ ἅμα ἴσα ᾖ ἢ ἅμα ἐλλείπῃ ληφθέντα κατάλληλα.
四つの量の一項と二項の比と三項と四項の比が等しいとは、一項と三項、二項と四項をそれぞれ任意に等倍したとしても、一項と二項、三項と四項を比較したときの大小及び相等関係が一致することをいう。
四つの量
α,β,γ,δの比
α:βと
γ:δが等しいとは、任意の自然数
m,nに対して次が成り立つことをいう。
Ὅταν δὲ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων τὸ μὲν τοῦ πρώτου πολλαπλάσιον ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ δευτέρου πολλαπλασίου, τὸ δὲ τοῦ τρίτου πολλαπλάσιον μὴ ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ τετάρτου πολλαπλασίου, τότε τὸ πρῶτον πρὸς τὸ
δεύτερον μείζονα λόγον ἔχειν λέγεται, ἤπερ τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον.
四つの量の一項と三項、二項と四項をそれぞれ等倍し、一項の倍量が二項の倍量より大きく、三項の倍量が四項の倍量より大きくないとき、一項と二項の比は三項と四項の比より大きいという。
四つの量
α,β,γ,δの比
α:βが
γ:δより大きいとは、ある自然数
m,nが存在して次が成り立つことをいう。
Ἀναλογία δὲ ἐν τρισὶν ὅροις ἐλαχίστη ἐστίν.
比例には少なくとも三つの
項こう, ὅρος, termがある。
三つの量
α,β,γについて
Ὅταν δὲ τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τέταρτον τριπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον, καὶ ἀεὶ ἑξῆς ὁμοίως, ὡς ἂν ἡ ἀναλογία ὑπάρχῃ.
四つの量が比例するとき、一項は四項に対して二項に関する
三乗比さんじょうひ, τριπλασίων λόγος, triplicate ratioをもつという。これは任意の個数の量の比例についても同様である。
Ὁμόλογα μεγέθη λέγεται τὰ μὲν ἡγούμενα τοῖς ἡγουμένοις τὰ δὲ ἑπόμενα τοῖς ἑπομένοις.
四つの量が比例するとき、前項は前項に、後項は後項に対応する量であるという。
四つの量
α,β,γ,δについて
α:β = γ:δならば
αは
γに、
βは
δに対応する量であるという。
Σύνθεσις λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου μετὰ τοῦ ἑπομένου ὡς ἑνὸς πρὸς αὐτὸ τὸ ἑπόμενον.
比の
統合とうごう, σύνθεσις, synthesisとは、前項と後項の和の後項に対する比をとることである。
α:βについて
(α+β):βを比の統合という。
Διαίρεσις λόγου ἐστὶ λῆψις τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου, πρὸς αὐτὸ τὸ ἑπόμενον.
比の
分離ぶんり, διαίρεσις, separationとは、前項と後項の差の後項に対する比をとることである。
(α+β):βについて
α:βを比の分離という。
Ἀναστροφὴ λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου.
比の
反転はんてん, ἀναστροφή, reverseとは、前項の前項と後項の差に対する比をとることである。
(α+β):βについて
(α+β):αを比の反転という。
Δι᾽ ἴσου λόγος ἐστὶ πλειόνων ὄντων μεγεθῶν καὶ ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανομένων καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὅταν ᾖ ὡς ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσι τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσι
τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον: ἢ ἄλλως: Λῆψις τῶν ἄκρων καθ᾽ ὑπεξαίρεσιν τῶν μέσων.
二組の同数の量の組において、対応するどの二つの量も比例するとき、初項に対する末項の比をとることを
等位比とういひ, δι᾽ ἴσου λόγος, ratio ex aequaliをとるという。
二組の同数の量の組
(α,β,γ)と
(Α,Β,Γ)において
α:β=Α:Β, β:γ=Β:Γのとき
α:γ=Α:Γを等位比という。
Τεταραγμένη δὲ ἀναλογία ἐστίν, ὅταν τριῶν ὄντων μεγεθῶν καὶ ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆθος γίνηται ὡς μὲν ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡγούμενον πρὸς ἑπόμενον, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον πρὸς
ἑπόμενον, ὡς δὲ ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἑπόμενον πρὸς ἄλλο τι, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις ἄλλο τι πρὸς ἡγούμενον.
二組の三つの量の組が
乱比例らんぴれい, τεταραγμένη ἀναλογία, perturbed proportionするとは、一組目の初項と次項の比が二組目の初項と次項の比に等しく、一組目の次項と末項の比が二組目の末項と初項の比に等しいことをいう。
二組の三つの量の組
(α,β,γ)と
(Α,Β,Γ)において
α:β=Α:Β, β:γ=Γ:Αのとき乱比例するという。
数 学
量 りょう,
μέγεθος, magnitude
約量 やくりょう,
μέρος, part
倍量 ばいりょう,
πολλαπλάσιος, multiple
比 ひ,
λόγος, ratio
比例 ひれい,
ἀνάλογος, proportional
項 こう,
ὅρος, term
二乗比 じじょうひ,
διπλασίων λόγος, duplicate ratio
三乗比 さんじょうひ,
τριπλασίων λόγος, triplicate ratio
交代比 こうたいひ,
ἐναλλάξ λόγος, alternate ratio
逆比 ぎゃくひ,
ἀνάπαλιν λόγος, inverse ratio
統合 とうごう,
σύνθεσις, synthesis
分離 ぶんり,
διαίρεσις, separation
反転 はんてん,
ἀναστροφή, reverse
等位比 とういひ,
δι᾽ ἴσου λόγος, ratio ex aequali
乱比例 らんぴれい,
τεταραγμένη ἀναλογία, perturbed proportion
