命題V-3

著者:Ευκλείδης(J.L.Heiberg, Ed.)

命題V-3 四つの量の組において、一項と三項がそれぞれ二項と四項の等倍の倍量であるとき、一項と三項の等倍をとれば、等位比により、それぞれ二項と四項の等倍の倍量となる。

作成:2006-09-20
更新:2011-03-10

命題V-3

Ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ληφθῇ δὲ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου, καὶ δι᾽ ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκατέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου τὸ δὲ τοῦ τετάρτου.

四つの量の組において、一項と三項がそれぞれ二項と四項の等倍の倍量であるとき、一項と三項の等倍をとれば、等位比により、それぞれ二項と四項の等倍の倍量となる。

四つの量の組(mα,α,mβ,β), m∈ℕと自然数n∈ℕについて次が成り立つ。

n(mα):α

n(mβ):β

n(mα)

(nm)α

n(mβ)

(nm)β

一項Aと三項Cがそれぞれ二項Bと四項Dの等倍の倍量であるとき、一項と三項の等倍EF、GHをとれば、それぞれ二項Bと四項Dの等倍の倍量となると主張する。

EF、GHはそれぞれA、Cの等倍の倍量であるから、EFにおけるAの倍数とGHにおけるCの倍数は等しい。EFをAと等しい量EK、KFに分割し、GHをCと等しい量GL、LHに分割する。EK、KFの分割数とGL、LHの分割数は等しい。A、CはそれぞれB、Dの等倍で、EKはAに等しく、GLはCに等しいから、EK、GLはそれぞれB、Dの等倍である。同じ理由で、KF、LHはそれぞれB、Dの等倍である。

六つの量の組(EK,B,GL,D,KF,LH)において、一項EKと三項GLがそれぞれ二項Bと四項Dの等倍の倍量であり、五項KFと六項LHがそれぞれ二項Bと四項Dの等倍の倍量であるから一項と五項の和EFと三項と六項の和GHはそれぞれ二項Bと四項Dの等倍の倍量である[命題V-2]。

ゆえに、四つの量の組において、一項と三項がそれぞれ二項と四項の等倍の倍量であるとき、一項と三項の等倍をとれば、等位比により、それぞれ二項と四項の等倍の倍量となる。これが証明すべきことであった。

Euclid(J.L.Heiberg), Euclidis Elementa, Leipzig. Teubner., 1883-1888