A対BがC対Dに等しく、C対DがE対Fに等しいならば、A対BはE対Fに等しいと主張する。

 G、H、KをA、C、Eのそれぞれ等倍、L、M、NをB、D、Fのそれぞれ等倍とする。

 A対BはC対Dに等しく、G、HはA、Cのそれぞれ等倍、L、MはB、Dのそれぞれ等倍であるから、GとL、HとMの大小及び相等関係が一致している[定義DV-5]。C対DはE対Fに等しく、H、KはC、Eのそれぞれ等倍、M、NはD、Fのそれぞれ等倍であるから、HとM、KとNの大小及び相等関係が一致している[定義DV-5]。したがって、GとL、KとNの大小及び相等関係も一致しているから、A対BはE対Fに等しい[定義DV-5]。

 ゆえに、同じ比に等しい比どうしは互いに等しい。これが証明すべきことであった。