命題V-24
著者:Ευκλείδης(J.L.Heiberg, Ed.)
命題V-24 六つの量の一項と二項の比と三項と四項の比が等しく、五項と二項の比が六項と四項の比が等しいならば、一項と五項の和と二項の比は三項と六項の和と四項の比に等しい。
作成:2006-10-20
更新:2011-03-10
更新:2011-03-10
命題V-24
Ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ἔχῃ δὲ καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον.六つの量の一項と二項の比と三項と四項の比が等しく、五項と二項の比が六項と四項の比が等しいならば、一項と五項の和と二項の比は三項と六項の和と四項の比に等しい。
六つの量α,β,γ,δ,ε,ζにおいて次が成り立つ。
| α:β=γ:δ, ε:β=ζ:δ ⇒ (α+ε):β=(δ+ζ):δ |
一項ABと二項Cの比と三項DEと四項Fの比が等しく、五項BGと二項Cの比が六項EHと四項Fの比が等しいならば、一項と五項の和AGと二項Cの比は三項と六項の和DHと四項Fの比に等しいと主張する。
BG対CはEH対Fに等しいから、C対BGはF対EHに等しい[命題V-7系]。AB対CはDE対Fに等しく、C対BGはF対EHに等しいから、AB対BGはDE対EHに等しい[命題V-22]。分離された比が比例するならば、それを合成しても比例するから、AG対GBはDH対HEに等しい[命題V-18]。BG対CはEH対Fに等しいから、AG対CはDH対Fに等しい[命題V-22]。
ゆえに、六つの量の一項と二項の比と三項と四項の比が等しく、五項と二項の比が六項と四項の比が等しいならば、一項と五項の和と二項の比は三項と六項の和と四項の比に等しい。これが証明すべきことであった。
Euclid(J.L.Heiberg), Euclidis Elementa, Leipzig. Teubner., 1883-1888