A、B、CとD、E、Fを二組の三つの量の組とし、対応するどの二つの量も比例する、すなわち、A対BとD対E、B対CとE対Fがそれぞれ等しいと仮定する。このとき、AとC、DとFを比較したときの大小及び相等関係は一致すると主張する。

 AがCより大きいならば、別の量Bに対して、大きい方は小さい方よりも大きい比をもつから[命題V-8]、A対BはC対Bより大きい。ここで、A対BはD対Eに等しい。逆にC対BはF対Eに等しいから[命題V-7系]、D対EはF対Eより大きい。同じ量に対してより大きい比をもつ量はより大きいから[命題V-10]、DはFより大きい。同じようにして、AがCに等しい場合はDもFに等しく、AがCより小さい場合はDもFより小さいことを示すことができる。

 ゆえに、二組の三つの量の組において、対応するどの二つの量も比例するとき、各々の組の初項と末項を比較したときの大小及び相等関係は一致する。これが証明すべきことであった。