直線ABがCで半分に、Dで不等分に分割されるとき、ADとDB上の正方形の和はACとCD上の正方形の和の二倍に等しいと主張する。

 CEをCを通り、ABに垂直に立て[命題I-11]、ACとCBに等しくなるようにし[命題I-3]、EAとEBを結ぶ。DFをDを通り、ECに平行に引く[命題I-31]。FGをFを通り、ABに平行に引く[命題I-31]。AFを結ぶ。ACとCEは等しいから、EACはAECに等しい[命題I-5]。Cにおける角は直角であるから、残りの角EACとAECの和は直角に等しい[命題I-32]。その各々は互いに等しいから、CEAとCAEはそれぞれ直角の半分である。同じ理由でCEBとEBCもそれぞれ直角の半分である。したがって、AEBは直角である。GEFは直角の半分であり、同位角ECBに等しいからEGFは直角である[命題I-29]。よって、残りのEFGは直角の半分であり[命題I-32]、GEFとEFGは等しい。したがって、EGとGFは等しい[命題I-6]。角Bは直角の半分であり、ECBの同位角であることからFDBは直角である[命題I-29]。よって、残りのBFDは直角の半分であり[命題I-32]、角BはDFBに等しい。したがって、FDとDBは等しい[命題I-6]。ACはCEに等しいから、AC上の正方形はCE上の正方形に等しく、ACとCE上の正方形の和はAC上の正方形の二倍である。ACEは直角であるから、EA上の正方形はACとCE上の正方形の和に等しく[命題I-47]、EA上の正方形はAC上の正方形の二倍である。EGとGFは等しいから、EG上の正方形とGF上の正方形に等しく、EGとGF上の正方形の和はGF上の正方形の二倍である。EF上の正方形はEGとGF上の正方形の和に等しく[命題I-47]、EF上の正方形はGF上の正方形の二倍である。GFはCDに等しいから[命題I-34]、EF上の正方形はCD上の正方形の二倍である。EA上の正方形はAC上の正方形の二倍であったから、AEとEF上の正方形の和はACとCD上の正方形の和の二倍である。AEFは直角であるから、AF上の正方形はAEとEF上の正方形の和に等しい[命題I-47]。したがって、AF上の正方形はACとCD上の正方形の和の二倍に等しい。Dにおける角は直角に等しいから、ADとDF上の正方形の和はAF上の正方形に等しい[命題I-47]。ADとDF上の正方形の和はACとCD上の正方形の和の二倍に等しい。DFはDBに等しいから、ADとDB上の正方形の和はACとCD上の正方形の和の二倍に等しい。

 ゆえに、直線が半分と不等分に分割されるとき、不等な部分上の正方形の和は、半分と不等な部分どうしの差の上の正方形の和の二倍に等しい。これが証明すべきことであった。