直線EFが平行な二直線ABとCDと交わっているとする。このとき、錯角AGHとGHDが等しく、同位角EGBとGHDが等しく、内角BGHとGHDの和が二直角であると主張する。

 AGHがGHDと等しくない、例えばAGHの方が大きいと仮定しよう。BGHを両方に加えると、AGHとBGHの和はBGHとGHDの和より大きい。ここで、AGHとBGHの和は二直角であるから[命題I-13]、BGHとGHDの和は二直角より小さくなるが、これは二つの直線ABとCDを延ばしていくといつかは交わることを意味する[公準P-5]。これは平行という仮定に反する[定義I-23]。よって、AGHがGHDと等しくないということはない。すなわち、AGHはGHDと等しい。AGHはEGBに等しいから[命題I-15]、EGBはGHDに等しい。両方にBGHを加えると、EGBとBGHの和はBGHとGHDの和に等しい。EGBとBGHの和は二直角に等しいから[命題I-13]、BGHとGHDの和も二直角に等しい。

 ゆえに、一つの直線が平行な二つの直線と交わっているとき、それらが作る錯角と同位角は等しく、内角の和は二直角に等しい。これが証明すべきことであった。