ABCを円とし、DをABCの外部の点とする。Dから円周の凹部に直線DA、DE、DF、DCを引き、DAは中心を通るものとする。このとき、Dから円周の凹部AEFCに引かれた直線の中でもっとも長いものは中心を通るADで、DEはDFより長く、DFはDCより長い。またDから円周の凸部HLKGに引かれた直線の中でもっとも短いものはDと中心の間に引かれたDGであり、DKはDLより短く、DLはDHより短いと主張する。

 円の中心をMとする[命題III-1]。ME、MF、MC、MK、ML、MHを結ぶ。

 AMはEMに等しいから、両方にMDを加えるとADはEMとMDの和に等しい。ここで、EMとMDの和はEDより大きいから[命題I-20]、ADはEDより大きい。MEはMFに等しく、MDは共通であるから、二辺EM、MDは二辺FM、MDにそれぞれ等しく、角EMDは角FMDより大きいから、底辺EDは底辺FDより大きい[命題I-24]。同じようにしてFDがCDより大きいことを示すことができる。したがって、ADがもっとも長く、DEはDFより長く、DFはDCより長い。

 MKとKDの和はMDより大きく[命題I-20]、MGはMKに等しいから、KDはGDより大きい。したがって、GDはKDより小さい。三角形MLDはその内部にMDの両端から引かれる直線MKとKDを含むから、MKとKDの和はMLとLDの和より小さい[命題I-21]。MKとMLは等しいから、DKはDLより小さい。同じようにしてDLはDHより小さいことを示すことができる。したがって、DGがもっとも短く、 DKはDLより短く、DLはDHより短い。

 さらに、点Dから円周上へ同じ長さの直線を、もっとも短い直線DGの両側へちょうど二つだけ引くことができると主張する。角DMBを点Mから直線MD上に角KMDと同じにとり[命題I-23]、DBを結ぶ。MKとMBは等しく、MDは共通であるから、二辺KM、MDと二辺BM、MDがそれぞれ等しく、角KMDが角BMDに等しい。したがって、底辺DKは底辺DBに等しい[命題I-4]。それゆえ、Dから円周上へ引かれた他の直線がDKに等しくなることはないことを示せばよい。そうでないと仮定して、DNがその直線であるとしよう。DNはDKに等しく、DKがDBに等しいことから、DBはDNに等しくなる。これはDGにより近いものがより短いことに反する。したがって、点Dから円周上へ同じ長さの直線をこれ以上引くことはできない。

 ゆえに、円の外部の点から円周上に直線が引かれるとき、円周の凹部に引かれた直線のうち、中心を通るものがもっとも長く、他の直線は中心により近いものがより長くなる。また円周の凸部に引かれた直線のうち、その点と中心の間に引かれたものがもっとも短く、他の直線はもっとも短い直線により近いものがより短くなる。そして、その点から円周上へ同じ長さの直線を、もっとも短い直線の両側へちょうど二つだけ引くことができる。これが証明すべきことであった。