三角形ABCにおいて、任意の二辺の和が残りの辺よりも大きい。すなわち、BAとACの和はBCより、ABとBCの和はACより、BCとCAとの和はABより大きいと主張する。

 BAをDまで延長し、ADがCAと等しくなるようにする[命題I-3]。そしてDCを結ぶ。

 DAはACと等しいから、角ADCはACDに等しい[命題I-5]。したがって、角BCDはADCより大きく、三角形DCBにおいて角BCDはBDCより大きい。より大きい角に対する辺はより大きいから[命題I-19]、DBはBCより大きい、よって、BAとACの和はBCより大きい。同様にしてABとBCの和はACより、BCとCAとの和はABより大きいことを示すことができる。

 ゆえに、任意の三角形において、任意の二辺の和は、残りの辺より大きい。これが証明すべきことであった。