AB、CD、EF、GHは四つの比例する直線であり、AB対CDがEF対GHに等しいとし、AB、CD上に直線図形KAB、LCDが相似で、相似に置かれており、EF、GH上に直線図形MF、NHが相似で、相似に置かれているとする。このとき、KAB対LCDはMF対NHに等しいと主張する。

 ABとCDに比例する第三の直線をO、EFとGHに比例する第三の直線をPとする[命題VI-11]。AB対CDはEF対GHに等しいから、CD対OはGH対Pに等しい。等位比をとればAB対OはEF対Pに等しい[命題V-22]。ここで、AB対OはKAB対LCDに等しく、EF対PはMF対NHに等しいから[命題VI-19]、KAB対LCDはMF対NHに等しい。

 次にKAB対LCDがMF対NHに等しいと仮定しよう。このとき、AB対CDはEF対GHに等しいと主張する。もしAB対CDがEF対GHに等しくなければ、AB対CDがEF対QRに等しくなるようにできる[命題VI-12]。Q上の直線図形SRを、MFあるいはNHに相似で、相似に置かれるように描く[命題VI-18, 命題VI-21]。

 AB対CDはEF対QRに等しく、AB、CD上に直線図形KAB、LCDが相似で、相似に置かれており、EF、QR上に直線図形MF、SRが相似で、相似に置かれているから、KAB対LCDはMF対SRに等しい(上で示されている)。ここで、KAB対LCDはMF対NHに等しいと仮定されているから、MF対SRはMF対NHに等しい。MFはNHとSRに対して同じ比をもつから、NHはSRに等しい[命題V-9]。それらはまた、相似で相似に置かれているから、GHはQRに等しい。AB対CDはEF対QRに等しく、QRはGHに等しいから、AB対CDはEF対GHに等しい。

 ゆえに、四つの直線が比例するとき、それらの上に描かれた相似で、相似に置かれた直線図形も比例する。逆に四つの直線上に描かれた相似で、相似に置かれた直線図形が比例するならば、それらの直線も比例する。これが証明すべきことであった。