ABCを角BACが直角であるような直角三角形とする。このとき、BC上に描かれた図形は、BAとAC上に相似で相似に置かれた図形の和に等しい。

 垂線ADを引く[命題I-12]。

 直角三角形ABCにおいて、直線ADは直角Aから底辺BCへ垂直に下ろされているから、垂線の両側の三角形ABDとADCは全体の三角形に相似であり、さらに互いに相似である[命題VI-8]。ABCはABDに相似であるから、BC対BAはAB対BDに等しい[定義DVI-1]。三つの直線が比例しているとき、一項対三項は、一項の直線上に描かれた図形対二項の直線上に描かれた相似で、相似に置かれた図形に等しいから[命題VI-19系]、CB対BDは、CB上に描かれた図形対BA上に描かれた相似で相似に置かれた図形に等しい。同じ理由で、BC対CDは、BC上に描かれた図形対CA上に描かれた相似で相似に置かれた図形に等しい。よって、BC対BDとDCの和は、BC上に描かれた図形対BAとAC上に相似で相似に置かれた図形の和に等しい[命題V-24]。BCはBDとDCの和に等しいから、BC上に描かれた図形は、BAとAC上に相似で相似に置かれた図形の和に等しい[命題V-9]。

 ゆえに、直角三角形において、直角の対辺上に描かれた図形は、直角に隣接する辺上に相似で相似に置かれた図形の和に等しい。これが証明すべきことであった。