Aを与えられた直線図形としたとき、Aに等しい正方形を作図することが求められている。

 BDを与えられた直線図形Aと同じ面積をもつ直角平行四辺形とする[命題I-45]。ここでもしBEがEDに等しければすでに目的は達成されている。そうでないと仮定しよう。そうするとBDとEDのどちらかが大きい。BEの方が大きいとしよう。EFがEDと等しくなるように延長し[命題I-3]、BFがGで二等分されるものとする[命題I-10]。Gを中心とし、半径がGBもしくはGFの半円BHFを描く。DEをHまで延長し、GHを結ぶ。

 直線BFはGで半分、Eで不等分に分割されるから、BEとEFの積である長方形とEG上の正方形の和は、GF上の正方形に等しい[命題II-5]。GFはGHに等しいから、BEとEFの積である長方形とEG上の正方形の和は、GH上の正方形に等しい。GH上の正方形はHEとEG上の正方形の和に等しいから[命題I-47]、BEとEFの積である長方形とEG上の正方形の和は、HEとEG上の正方形の和に等しい。GE上の正方形を両方から引くと、BEとEFの積である長方形はEH上の正方形の和に等しいことがわかる。EFはEDに等しいから、BDはBEとEFの積である長方形に等しい。したがって、平行四辺形BDはHE上の正方形に等しい。BDは直線図形Aに等しかったから、直線図形AはHE上の正方形に等しい。

 ゆえに、EH上に作図された正方形は、与えられた直線図形Aに等しい。これが求められていたことであった。