ABCとADEを等積な三角形で、その一つの角BACがDAEに等しいとする。このとき、三角形ABCとADEの、等しい角を挟む辺どうしは反比例する、すなわち、CA対ADはEA対ABに等しいと主張する。

 CAをADと同じ直線上に置くと、EAもABと同じ直線上に置かれる[命題I-14]。BDを結ぶ。

 三角形ABCと三角形ADEは等積であるから、三角形CAB対三角形BADは三角形EAD対三角形BADに等しい[命題V-7]。ここで、三角形CAB対三角形BADはCA対ADに等しく、三角形EAD対三角形BADはEA対ABに等しい[命題VI-1]。よって、CA対ADはEA対ABに等しく、三角形ABCと三角形ADEの等しい角を挟む辺どうしは反比例する。

 次に三角形ABCと三角形ADEにおいて、CA対ADがEA対ABに等しいと仮定する。このとき、三角形ABCは三角形ADEに等積であると主張する。

 BDを結ぶとCA対ADはEA対ABに等しい。CA対ADは三角形ABC対三角形BADに等しく、EA対ABは三角形EAD対三角形BADに等しい[命題VI-1]。よって、三角形ABC対三角形BADは三角形EAD対三角形BADに等しく、三角形ABCと三角形EADは三角形BADに対して同じ比をもつ。したがって、三角形ABCは三角形EADに等積である[命題V-9]。

 ゆえに、二つの等積な三角形において、一つの角が等しければ、その角を挟む辺どうしは反比例する。そして、二つの三角形において、一つの角が等しく、その角を挟む辺どうしが反比例すれば、それらは等積である。これが証明すべきことであった。