ABとBCを等積で等角な平行四辺形とし、Bにおけるそれぞれの角が等しいとする。さらにDBとBEが同じ直線上にあるようにすれば、FBとBGもまた同じ直線上にある[命題I-14]。このとき、等しい角を挟む辺どうしは反比例する。すなわち、DB対BEはGB対BFに等しい。

 平行四辺形FEが満たされたとすると、平行四辺形ABは平行四辺形BCに等積であるから、平行四辺形AB対平行四辺形FEは平行四辺形BC対平行四辺形FEに等しい[命題V-7]。ここで、平行四辺形AB対平行四辺形FEはDB対BEに等しく、平行四辺形BC対平行四辺形FEはGB対BFに等しい[命題VI-1]。よって、DB対BEはGB対BFに等しく、平行四辺形ABと平行四辺形BCの等しい角を挟む辺どうしは反比例する。

 次にDB対BEがGB対BFに等しいと仮定しよう。このとき、平行四辺形ABは平行四辺形BCに等積であると主張する。

 DB対BEはGB対BFに等しいが、一方、DB対BEは平行四辺形AB対平行四辺形FEに等しく、GB対BFは平行四辺形BC対平行四辺形FEに等しい[命題VI-1]。よって、 平行四辺形AB対平行四辺形FEは平行四辺形BC対平行四辺形FEに等しく、平行四辺形ABは平行四辺形BCに等しい[命題V-9]。

 ゆえに、等積で等角な平行四辺形において、等しい角を挟む辺どうしは反比例する。そして、等しい角を挟む辺どうしが反比例する等角な平行四辺形は等積である。これが証明すべきことであった。