円ABC内で直線CDが中心を通り、中心を通らない弦ABを二等分しているとき、CDはABと直交していると主張する。

 円ABCの中心をEとし[命題III-1]、EAとEBを結ぶ。

 AFはFBに等しく、FEは共通であるから三角形の二辺が等しい。底辺EAはEBに等しいから、三角形AFEはBFEに等しい[命題I-8]。直線が他の直線上に立ち、隣接角が互いに等しいとき、それぞれの角が直角であったから[定義DI-10]、AFEとBFEは直角である。したがって、中心を通る弦CDは中心を通らない弦ABと直交している。

 次にCDとABが直交しているとき、ABが二等分されている、すなわちAFがFBに等しいと主張する。

 同じ図でEAはEBに等しいから、角EAFはEBFに等しい[命題I-5]。直角AFEは直角BFEに等しいから、三角形EAFとEFBは二角と共有する一辺EFが等しいから、残りの辺も等しい[命題I-26]。したがって、AFはFBに等しい。

 ゆえに、円において、中心を通る直線が中心を通らない弦を二等分するならば直角に交わり、直角に交わっているならば二等分する。これが証明すべきことであった。