もしそうでないとすれば、円ABCは円DEFと二つより多い点B、G、F、Hで交わる。BHとBGを結び、それらがKとLで二等分されるものとする。KCとLMをそれぞれKとLからBHとBGに垂直に立て[命題I-11]、AとEまで延長する。

 円ABCにおいて、弦ACは弦BHを垂直に二等分しているので、円ABCの中心はAC上にある[命題III-1系]。同じく円ABCにおいて、弦NOは弦BGを垂直に二等分しているので、円ABCの中心はNO上にある[命題III-1系]。弦ACと弦NOは点P以外では交わらないから、点Pが円ABCの中心である。同じようにして、Pが円DEFの中心であることを示すことができる。したがって、互いに分割しあう二つの円ABCとDEFは共通の中心Pをもつ。これは矛盾である[命題III-5]。

 ゆえに、円は他の円と二つより多い点で交わらない。これが証明すべきことであった。