ABCとDCEを二つの三角形とし、二辺BAとACが二辺DCとDEに比例し、すなわち、AB対ACがDC対DEに等しく、ABとDC、ACとDEがそれぞれ平行であれば、BCとCEは一直線上にあると主張する。

 ABはDCに平行であり、直線ACはそれらと交わっているから、錯角BACとACDは互いに等しい[命題I-29]。同じ理由でCDEはACDと等しい。よって、BACはCDEに等しい。三角形ABCとDCEにおいて角Aと角Dが等しく、それらを挟む二辺が比例している、すなわち、BA対ACはCD対DEに等しいから、三角形ABCは三角形DCEに等角である[命題VI-6]。したがって、角ABCはDCEに等しく、すでに示されたように角ACDはBACに等しいから、全体の角ACEは二つの角ABCとBACの和に等しい。ここで、BAC、ABC、ACBの和は二直角であるから[命題I-32]、ACEとACBの和も二直角である。二直線BCとCEは同じ側にはなく、点Cにおいて隣接する角ACEとACBの和が二直角に等しいから、BCとCEは一直線上にある[命題I-14]。

 ゆえに、二つの三角形において、一つの角を挟む二辺どうしが比例し、さらに平行であるとき、残りの辺は一直線上にある。これが証明すべきことであった。