二つの円ABCとADEが点Aで外接しているとき、円ABCの中心FとADEの中心G[命題III-1]を結ぶと、その直線上にAがあると主張する。

 そうでないと仮定し、図のFCDGのようになるとする。AFとAGを結ぶ。Fは円ABCの中心であるから、FAはFCに等しい。Gは円ADEの中心であるから、GAはGDに等しい。したがって、FAとAGの和はFCとGDの和に等しい。FG全体はFAとAGの和より大きいが、なおかつ小さい[命題I-20]。これは矛盾である。したがって、FとGを結ぶ直線はAを通る。

 ゆえに、二つの円が外接しているとき、それらの中心を結ぶ直線上に接点がある。これが証明すべきことであった。