ABとCDがEFと平行であるとき、ABとCDは平行であると主張する。

 直線GKをAB、CD、EFと交わるように引く。

 GKは平行な直線ABとEFと交わっているので、角AGKとGHFは等しい[命題I-29]。GKは平行な直線EFとCDと交わっているので、角GHFとGKDは等しい[命題I-29]。ここで、角AGKとGHFは等しいから、角AGKはGKDと等しい。したがって、ABはCDと平行である[命題I-27]。

 ゆえに、同じ直線に平行な二つの直線は平行である。これが証明すべきことであった。