証明

 命題5.1.8と同様にしてa ≡ b (mod I), c ≡ d (mod I)のとき、a + c ≡ b + d (mod I), ac ≡ bd (mod I)を示すことができる。これは加法と乗法の定義が剰余系のとり方によらずに定まることを意味している。可換環の性質を満たすことは元の演算がその性質を満たしていることからわかる。■

証明

 f(a)=f(b)=0ならばf(a+b)=f(a)+f(b)=0.f(a)=0ならばr∈Rについてf(ra)=f(r)f(a)=0.■

証明

 fが単射であるとはa,b∈R, a≠bならばf(a)≠f(b)が成り立つことである。これをf(a－b)≠0と書き換えれば、Ker f = {0}と同じであることがわかる。■

証明

 まず、この写像が剰余系のとり方によらないことを示す。a≡b(mod Ker f)とするとa－b ∈Ker fであるからf(a－b)=f(a)－f(b)=0よりf(a)=f(b)となる。f(R)が部分環であることは、その任意の元がf(a), a ∈Rと書けることからわかる。写像が全射であることはあきらかである。準同型写像であることは元の写像が準同型写像であることからわかる。単射であることは、f(a)=0はa ∈Ker fを意味し、Ker f=0=Ker fであることからわかる。■

証明

 演習とする。■

証明

 演習とする。■

証明

 a≡b(mod m)であれば任意のm_iについてa≡b(mod m_i)であるから、この写像の定義に問題は無い。この写像の核の元aは、任意のm_iについてa≡0(mod m_i)を満たすのでa≡0(mod m)となり、Φが単射であることがわかる。ℤ/m₁ℤ×⋯×ℤ/m_kℤの任意の元(a(mod m₁),⋯,a(mod{m_k})が与えられたとき、中国の剰余定理から、 はm = m₁m₂⋯m_kを法として一意的な解aを持つことからΦが全射であることがわかる。■

証明

 まずI₁とI₂が互いに素であればI₁ ∩I₂ = I₁ I₂であることを示す。イデアルであることからI₁I₂⊂I₁, I₁ I₂⊂I₂であり、I₁I₂⊂I₁∩I₂はつねに成り立っている。a∈I₁∩I₂に対して1=b₁+b₂, b₁∈I₁, b₂∈I₂をかけるとa=ab₁+ab₂となり、a∈I₁I₂であることがわかる。したがってI₁∩I₂⊂I₁I₂である。
 次にI₁とI₂I₃が互いに素であることを示す。1=b₁+b₂=c₁+c₃, b₁,c₁∈I₁, b₂∈I₂, c₃∈I₃とする。 において、b₁c₁+c₁b₂+b₁c₃∈I₁, b₂c₃∈I₂I₃より互いに素である。このことから、 が成り立つことがわかる。この議論を繰り返すことにより∩_i=1^k I_i = I₁ I₂ ⋯ I_kが得られる。
 Φが単射であることは、自然な射影R → R/I₁×⋯×R/I_k, a ↦ (a(mod I₁),⋯,a(mod I_k)の核が∩_i=1^kI_iであることから、準同型定理を適用することによってわかる。したがって全射であることを示せばよい。まず、k=2のときを考える。1=b₁+b₂, b₁∈I₁, b₂∈I₂とする。任意のa₁,a₂∈Rに対して、c=a₂b₁+a₁b₂とおくと となり、Φ(c)=(a₁(mod I₁),a₂(mod I₂))であることがわかる。k=3の場合はI₁とI₂I₃が互いに素であることから、 が成り立ち、この議論を繰り返すことにより、R/I₁⋯I_k≅R/I₁×⋯×R/I_kが得られる。■