連分数は互除法において計算している数をあらわに表現しようとしたときに出現してくるものです。連分数れんぶんすう, continued fractionとは、 という形の有理数のことです。

 互除法で得られる数列は0でない整数a,b(a＞b)が与えられたときに、 x₀ = a, x₁ = bとし、 というものでした。

 より一般的に２つの数列(x_i),(k_i)が単に次のような関係を満たしているとしましょう。 このとき、数列(k_i)によって定まる新しい数列(p_i)を次のように定義します。 最初の方の値を書き下すと次のようになります。 この数列(p_i)を使うとx₀をx_n,x_n+1で書くことができます。具体的には と書くことができます。これを数学的帰納法で証明してみましょう。n=1のときは、x₀ = p₁x₁ + p₀x₂ですが、これはp₀=1,p₁=k₀を代入するとx₀ = k₀ x₁ + x₂となり、これは最初の数列の定義そのものです。nまで正しいと仮定します。 となりn+1でも成り立ちます。このp_nをガウスの『整数論』に従って、 と書くことにしましょう。高木貞治Takagi, Teiji, 1875-1960は『初等整数論講義しょとうせいすうろんこうぎ』においてこの記号を踏襲していますが、ハーディHardy, Godfrey Harold, 1877-1947は『数論入門An Introduction to the Theory of Numbers』において、この記号で分子がすべて1となるような連分数を表現しています。現在でもこの記号の使い方は２種類並存しているようです。

 次に数列(q_i)を(p_i)と初期値をひとつずらして と定義します。最初の方の値を書き下すと次のようになります。 この数列(q_i)を使うとx₁をx_n,x_n+1で書くことができます。具体的には が成り立ちます。この証明は演習としましょう。このq_nはガウスの記号を使うと 次のように書くことができます。 ここまでを命題としてまとめておきます。

 前節で２元一次不定方程式の特殊解を求める際に、上の命題とちょうど逆の関係式を使っています。 ここで各行列について となっていることから 特に各行列の行列式が－1であることから、次の式が成り立ちます。 x₀ = p_nx_n + p_n－1x_n+1にq_n－1を掛け、x₁ = q_nx_n + q_n－1x_n+1にp_n－1を掛けたものを引くとq_n－1x₀ － p_n－1x₁ = (p_n q_n－1 － p_n－1 q_n)x_n = (－1)ⁿ x_nとなることから、 が成り立ちます。ここでa ＞ b, x₀ = a, x₁ = b, x_n = dとすると となり、拡張互除法で計算していたものは、実はこの数列(q_i)であったということがわかりました。

 最後にこの数列(p_i),(q_i)と連分数の関係について述べることにしましょう。 このように数列(p_i),(q_i)は数列(k_i)によって作られる連分数の分子と分母になっています。最後の式を と書き直しておきます。実数を連分数展開するときにこの形がでてくるでしょう。

参考文献