ここまででいろいろな数列の和の公式が得られました。これらの公式が正しいことはこれまでの説明で十分わかりますが、これがさらに複雑になっていったときにうまく図で表現できなかったり、うまい式変形が見つからなかったりするような状況が発生してきます。そのような場合でも、ある特定の手順にしたがって式を計算していくだけで公式を証明する手段があります。それがパスカルPascal, Blaise, 1623-1662が1654年に発表した『算術三角形論Traité du Triangle arithmétique』において初めて明確に述べられた数学的帰納法の原理です。これはさまざまな問題の証明において強力な道具となりますのでここで導入しておくことにしましょう。

 自然数全体の集合ℕ={0,1,2,3,⋯}は自然数の公理しぜんすうのこうり, axiom of natural numberによって特徴付けられます。公理こうり, axiomとは証明無しで認められる基本的な命題であると考えてください。

 この公理から数学的帰納法すうがくてききのうほう, mathematical inductionの原理を証明することができます。

 パスカルによる数学的帰納法の発見によって、すべての自然数に対して成り立つ命題を証明する手段を獲得することになりました。この数学的帰納法にはさまざまなバリエーションがありますので、問題によってそれらの中から適切なものを選択することになります。

 数学的帰納法は自然数全体ではなく任意の自然数aに対して{n∈ℕ|n≧a}なる部分集合に対して適用することができます。

 次のような変形もよく使います。

 次に数学的帰納法と同じように数学の証明における重要な技術である背理法について説明しましょう。背理法は数学ではなく論理学に属するものです。数学と論理学は密接に関係していて、論理学は数学の一分野とみなされやすいのですが、歴史的にみても数学と論理学は別々に発生し、発展してきており、現代においては論理学は数学と哲学にまたがるような学問領域になっています。

 論理学を創始したのは南イタリアのエレア出身のパルメニデスParmenides, BC515頃-445頃であるとされています。論理学から見たパルメニデスの最大の功績は排中律はいちゅうりつ, law of excluded middleと呼ばれる重要な規則を発見したことにあります。パルメニデスの残した著作の断片^*1にそのことが明確に書かれています。 これを現代的な記号論理学で表現すると となります。これはどのような命題AについてもAが正しいか(真)、￢A(Aの否定)が正しい、すなわちAが正しくないか(偽)のどちらかであるということです。この排中律から間接証明(背理法)という強力な証明の道具が生み出され、パルメニデスの弟子ゼノンZenon, BC490頃-435頃はこれを使って当時のさまざまな知識人達の素朴な論理をあざやかに論破していきます。プラトンは『パルメニデスParmenides』において若き日のソクラテスがパルメニデスとゼノンに打ち負かされる様子を描いています。

 背理法はいりほう, reduction to absurdityというのは命題Aが正しいことを証明するために、まず命題Aが間違っている、すなわち￢Aが正しいと仮定します。そしてその前提のもとで議論を進めると矛盾に至ることを示します。そうするとその矛盾は命題Aが間違っていると仮定したから生じたものなので、その仮定が間違っていたことがわかります。したがって排中律から命題Aが正しいことが証明されるわけです。

 この背理法と数学的帰納法を使って自然数の整列性と整数における除法の原理という２つの基本的な性質を証明しておくことにしましょう。

 また数学的帰納法と同じような使われ方をするものとしてフェルマーが発見した無限降下法むげんこうかほう, inifinite descentというものがあります。状況によっては数学的帰納法よりも便利ですのでこれも導入しておくことにしましょう。

参考文献