有理数
著者:梅谷 武
語句:同値関係,同値類,商集合,単元,可逆元,逆元,体,群,可換群,アーベル群
有理数の定義と性質。
作成:2006-04-11
更新:2013-06-14
1.3 有理数
 整数を拡大して有理数を作るために同値類の概念を導入します。

定義1.3.2 同値関係

 集合における任意の２元の関係∽が次の性質を満たすとき、 同値関係どうちかんけい, equivalence relationという。
(反射律) 任意の元aについてa ∽ a
(対称律) 任意の２元a,bについてa ∽ b ⇒ b ∽ a
(推移律) 任意の３元a,b,cについてa ∽ b, b ∽ c ⇒ a ∽ c
 集合A上に同値関係∽が定義されているとき、互いに同値な元をすべて集めてAの部分集合を作ります。このような部分集合の全体の集合を考えると、どの部分集合どうしも交わりがなく、なおかつそれらすべてを合併するとAになります。このように同値関係は集合を分割します。これを集合の類別といい、各部分集合を同値類どうちるい, equivalence classと呼びます。同値類全体の集合を商集合しょうしゅうごう, quotient setといい、A/∽と書きます。
 さて、整数ℤと整数から0を除いた集合ℤ－{0}との直積を考えます。
ℤ × ℤ－{0} = { (a,b) | a,b∈ℤ, b≠0 }
この集合の元(a,b)をaを分母、bを分子とする分数と考えて、
Frac(ℤ) ≔ lc36
a
b
 | a,b∈ℤ, b≠0
rc36
とおきます。この集合において
ab' = a'b のとき
a
b
 ∽
a'
b'
とする同値関係∽を考え、有理数ℚは次のような集合として定義します。
ℚ ≔ Frac(ℤ)/∽
またa∈ℤを
a
1
と同じとみなすことによってℤ⊂ℚと考えます。ℚ上に加法と乗法を次のように定義します。
a
b
 +
c
d
 =
ad+bc
bd
,
a
b
 ⋅
c
d
 =
ac
bd
有理数ℚはこの加法と乗法によって整域となります。
 一般に可換環Rにおいてa∈Rに対してab=ba=1なるb∈Rが存在するとき、aを単元たんげん, unitあるいは可逆元かぎゃくげん, invertible elementといい、bを逆元ぎゃくげん, inverse elemntといいます。単元は0ではなく、その逆元は一意的に存在します。単元aの逆元をa－1で表すことにします。

定義1.3.6 体

 可換環Kにおいて0以外の元がすべて単元であるときKを体たい, fieldという。
 有理数は整数を体になるように拡大したものです。

命題1.3.8

 有理数ℚは体である。

証明

 0以外の元が単元であることを示せばよいが、それは
a
b
 ≠ 0 ⇒
a
b
 ⋅
b
a
 = 1
であることからわかる。■
 整数を有理数に拡大したやり方は、一般の整域についてもそのまま適用することができます。整域をこのやり方で拡大した体のことを商体と呼びますが、これについては後にもう一度学ぶことになるでしょう。
 ここで前節で触れた乗法群とアーベル群の定義をまとめておきます。

定義1.3.12 群

 集合Gの２つの元a,bについて乗法ab∈Gが定義されていて次の性質を満たすとき、Gは群ぐん, groupであるという。
(結合律) 任意の３元a,b,cについて、(ab)c = a(bc)
(単位元) 1∈Rが存在し、任意の元aについて、a1 = 1a = a
(逆元) 任意の元aについてa－1が存在して、aa－1 = a－1a = 1
群Gがさらに次を満たすとき可換群かかんぐん, commutative groupあるいはアーベル群あーべるぐん, abelian groupという。
(可換律) 任意の２元a,bについて、ab = ba
 体の定義から次のことがすぐにわかります。

命題1.3.14

 体Kから零元を取り去った集合K×=K－{0}は乗法に関してアーベル群を為す。特に有理数ℚから零元を取り去った集合ℚ×=ℚ－{0}は乗法に関してアーベル群を為す。

証明

 演習とする。■
 整数ℤの順序付けはad≦bcのとき
a
b
 ≦
c
d
と定義することで有理数ℚに自然に拡張することができます。 順序環が体であるときに順序体といいます。

命題1.3.17

 有理数ℚは順序体である。

証明

 演習とする。■
 順序体では順序環としての性質の他に次の性質があります。

命題1.3.20 順序体の性質

 順序体では次が成り立つ。
(O8) x ＜ y, x ＞ 0, y ＞ 0 ⇒ y－1 ＜ x－1

証明

 演習とする。■
数　　学
同値関係 どうちかんけい, equivalence relation
同値類 どうちるい, equivalence class
商集合 しょうしゅうごう, quotient set
単元 たんげん, unit
可逆元 かぎゃくげん, invertible element
逆元 ぎゃくげん, inverse elemnt
体 たい, field
群 ぐん, group
可換群 かかんぐん, commutative group
アーベル群 あーべるぐん, abelian group
 
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