整数

著者:梅谷武
語句:自然数,整数,正,負,加法群,可換群,アーベル群,加群,可換環,零因子,整域,順序,順序環

整数の定義と性質。

作成:2006-04-11
更新:2021-03-15

1.2 整数

前節で定義した数を自然数しぜんすう, natural numberと呼び、自然数全体の集合をℕで表わすことにします。

ℕ = { 0, 1, 2, 3, ⋯ }

整数せいすう, integerとは、0でない自然数の集合を正せい, positiveの数

ℤ⁺ = {1,2,3,⋯}

とし、

ℤ^－ = {－n|n∈ℤ⁺}

を負ふ, negativeの数として

ℤ

ℤ^－ ∪ {0} ∪ ℤ⁺

⋯,－3,－2,－1,0,1,2,3,⋯

と定義される集合です。自然数は物の個数として定義されましたが、減算を定義しようとすると大きい数から小さい数を引くことしかできませんでした。整数における負の数は小さい数から大きい数を引くときの不足している数という意味を持ちます。小さい数にこの不足している数を足すことによって大きい数をちょうど引くことができるようになります。この節では整数の基本的な性質を列挙します。これらの性質が整数に関する議論の出発点となります。

整数の加法に関する性質は加法群という概念で表現することができます。

定義1.2.3 加法群

集合Gの２つの元a, bについて加法a + b ∈ Gが定義されていて次の性質を満たすとき、Gは加法群かほうぐん, additive groupであるという。

(結合律)	任意の３元a, b, cについて、(a + b) + c = a + (b + c)
(零元)	0∈Rが存在し、任意の元aについて、a + 0 = 0 + a = a
(逆元)	任意の元aについて－aが存在して、a + (－a) = (－a) + a = 0
(可換律)	任意の２元a, bについて、a + b = b + a

通常、群といった場合に乗法に関して可換律以外の性質が成り立つことを指します。群が可換律を満たすときに可換群かかんぐん, commutative groupではなくアーベル群あーべるぐん, abelian groupと呼ばれますが、演算が加法で可換律を満たすときには加法群と呼ぶことにしましょう。加法群は加群かぐん, moduleとも呼ばれます。これは後に説明されることですが、環が作用しているときに使われることが多い言葉です。

負の数に対する加法は自然に導入することができますが、乗法については次のような約束をすることにします。任意の整数aについて－a = －1 × aと定め、－1に関する積を

－1 × 1

1 × －1 = －1

－1 × －1

と定めます。これにより任意の整数に対する積が計算できます。このように加法と乗法を定めることにより整数は次のような可換環の性質をもつようになりました。

定義1.2.6 可換環

集合Rの２つの元a, bについて加法a + b ∈ Rと乗法ab ∈ Rが定義されていて次の性質を満たすとき、Rは可換環かかんぐん, commutative ringであるという。
(R1) Rは加法に関して加法群を為す。すなわち、次が成り立つ。

(結合律)	任意の３元a, b, cについて、(a + b) + c = a + (b + c)
(零元)	0∈Rが存在し、任意の元aについて、a + 0 = 0 + a = a
(逆元)	任意の元aについて－aが存在して、a + (－a) = (－a) + a = 0
(可換律)	任意の２元a, bについて、a + b = b + a

(R2) Rの乗法について次が成り立つ。

(結合律)	任意の３元a, b, cについて、(ab)c = a(bc)
(単位元)	1∈Rが存在し、任意の元aについて、a1 = 1a = a
(可換律)	任意の２元a, bについて、ab = ba

(R3) Rの加法と乗法について次が成り立つ。

(分配律)

任意の３元a, b, cについて、

a(b + c) = ab + ac

(a + b)c = ac + bc

1と－1以外の数は乗法に関する逆元を持ちませんので乗法群にはなりません。

可換環Rの元aが0でない元bをかけることによって0になるとき、すなわちab=0となるとき、aを零因子れいいんし, zero divisorといいます。0以外に零因子をもたない可換環(≠{0})を整域といいます。

定義1.2.9 整域

可換環R≠{0}の任意の２元a, bについて次の性質が満たされるときRは整域せいいき, integral domainであるという。

(ID)	ab = 0 ⇒ a = 0または b = 0

整数は整域です。整数における順序は減算によって定めますが、一般に順序とは次のようなものとして定義されます。

定義1.2.11 順序関係

集合における任意の２元の関係≦が次の性質を満たすとき、その関係を順序じゅんじょ, orderという。

整数の任意の２元の関係a ≦ bをb － aが0か正であることと定義します。そうするとこの関係は順序となります。a ≦ bはb ≧ aとも書き、a ≦ bであり、かつa ≠ bのときa ＜ bあるいはb ＞ aと書きます。これにより整数は次のような順序環としての性質をもちます。

定義1.2.13 順序環

可換環Rに順序が定義され、その順序が次の性質をもつとき順序環じゅんじょかん, ordered ringという。

(O1)	任意のx,y∈Rに対し、x ＜ y, x = y, x ＞ yのいずれかが成り立つ。
(O2)	x ＜ y, y ＜ z ⇒ x ＜ z
(O3)	x ＜ y, z ＞ 0 ⇒ xz ＜ yz
(O4)	x ＜ y ⇒ x + z ＜ y + z

順序環に対して次のように絶対値を定義することができます。

|x| ≔

x≧0

－x,

x＜0