AEBとCFDを等しい直線ABとCD上の相似な切片とするとき、AEBとCFDは互いに等しいと主張する。

 点AがCに、直線ABがCDに一致するように切片AEBを切片CFDに重ねると、ABとCDが等しいことにより点BはDと一致する。ここで、ABとCDが一致すれば、切片AEBとCFDは一致する。なぜならば、切片AEBがCFDに一致しないとすれば、内部に含まれるか、外部にあるか、あるいは図のCGDのように円が二つより多くの点で交わることになるが、これはあり得ない[命題III-10]。したがって、直線ABとCDが一致すれば、AEBとCFDは一致せざるを得ない。よって、それらは一致し、互いに等しい[公理A-4]。

 ゆえに、等しい直線上の相似な切片は互いに等しい。これが証明すべきことであった。