直線DEが点Cで円ABCに接しているとする。CAをCからDEに直角に立てる[命題I-11]。このとき、AC上に円の中心があると主張する。

 そうでないと仮定して、Fを円の中心とし、CFを結ぶ。

 直線DEは円ABCに接しているから、FCは中心から接点へ引かれていることから、DEに垂直である[命題III-18]。すなわち、角FCEは直角である。角ACEも直角であるから、FCEとACEは等しくなり、小さいものが大きいものと等しいことになり矛盾である。したがって、Fは円ABCの中心ではない。同じようにしてAC上にないすべての点が中心になり得ないことを示すことができる。

 ゆえに、直線が円に接しているとき、接点から垂直に引かれた直線上に中心がある。これが証明すべきことであった。