二つの直線ABとCDが点Eで交わるものとする。このとき、角AECとDEB、CEBとAEDが等しいと主張する。

 直線AEは直線CD上に立ち、角CEAとAEDを作っているからこれらの和は二直角に等しい[命題I-13]。直線DEは直線AB上に立ち、角AEDとDEBを作っているからこれらの和は二直角に等しい[命題I-13]。角CEAとAEDも二直角に等しいから、角CEAとAEDの和は角AEDとDEBの和に等しい[公理A-1]。両方からAEDを引くことのよって、それらの残りCEAとBEDが等しいことがわかる[公理A-3]。同様にしてCEBとDEAもまた等しいことがわかる。

 ゆえに、二つの直線が交わるとき、その対頂角は互いに等しい。これが証明すべきことであった。