Pythonによる代数系の表現

著者:梅谷武

Pythonによる代数系の表現法について述べる。

作成:2006-07-07
更新:2013-06-16

Pythonには次の4つの数値型が組み込まれています。

通常の整数定数はそれが整数型の制限を超えない場合、整数型として扱われます。整数型の制限を越える整数、あるいは語尾に 'L' あるいは 'l' が付いた整数定数は長整数型として扱われます。小文字の 'l' は '1' と区別するのが難しいので大文字の'L'を使うことが推奨されます。

小数点または指数表記のある数値定数は浮動小数点型として扱われます。語尾に 'j' または 'J' をつけると実部が零である複素数として扱われます。一般の複素定数は実部＋虚部として表します。

Python はこの４つの数値型を

int ⊂ long ⊂ float ⊂ complex

と考えてこの４つの型が混合された演算を実行します。二つの異なる数値型の演算は大きい方の数値型に拡張して行なわれます。

４つの組み込み数値型には次の演算が定義されています。

Pythonにおいては組み込み型で有理整数を表現することができます。整数型(int)の演算で制限を越える場合は自動的に無限精度の長整数型(long)に変換されますのであまり型を意識する必要がありません。

注意すべき点として整数の定数定義において長整数を定義する場合に語尾に 'L' をつける必要があることですが、2.3.4で実験する限り 'L'を付けなくても整数型の範囲を超える整数定数は長整数型として認識されるようです。

PythonにおいてはC++と同様に演算子をオーバーロードすることができます。これによりクラスを新しい数値型として定義し、そのクラスに属するオブジェクトを数式を使って演算することが可能になります。この方法によってさまざまな代数系における計算を表現します。

あるクラスにおいて演算子オーバーロードを行なうためには次のメソッドを定義します。

__add__(self, other)	self + other により呼び出される。
__radd__(self, other)	other + self においてotherで未定義のとき呼び出される。
__sub__(self, other)	self - other により呼び出される。
__rsub__(self, other)	other - self においてotherで未定義のとき呼び出される。
__mul__(self, other)	self * other により呼び出される。
__rmul__(self, other)	other * self においてotherで未定義のとき呼び出される。
__div__(self, other)	self / other により呼び出される。
__rdiv__(self, other)	other / self においてotherで未定義のとき呼び出される。
__mod__(self, other)	self
__rmod__(self, other)	other
__pow__(self, other)	self ** other により呼び出される。
__rpow__(self, other)	other ** self においてotherで未定義のとき呼び出される。
__cmp__(self, other)	self (比較演算子) other により呼び出される。
__rcmp__(self, other)	other (比較演算子) self においてotherで未定義のとき呼び出される。
__neg__(self)	-self により呼び出される。
__abs__(self)	abs(self) により呼び出される。
__int__(self)	int(self) により呼び出される。
__long__(self)	long(self) により呼び出される。
__float__(self)	float(self) により呼び出される。
__complex__(self)	complex(self) により呼び出される。
__coerce__(self, other)	型混合演算において呼び出される。

Pythonにおいては有理数を表現するためのモジュール fractions が標準ライブラリに組み込まれています。これをインクルードすることにより、

int ⊂ long ⊂ Fraction

とみなすことができる有理数体クラスFractionが使えるようになります。

一変数多項式環クラス：Poly1.pyはPythonの組み込み型による有理整数環あるいは有理数体を係数とする一変数多項式環クラスです。

Poly1.py においては一変数多項式が係数のリストとして実装されています。

Poly1.py は次の演算子オーバーロードを実装しています。

__add__(self, other)	self + other により呼び出される。
__radd__(self, other)	other + self においてotherで未定義のとき呼び出される。
__sub__(self, other)	self - other により呼び出される。
__rsub__(self, other)	other - self においてotherで未定義のとき呼び出される。
__mul__(self, other)	self * other により呼び出される。
__rmul__(self, other)	other * self においてotherで未定義のとき呼び出される。
__div__(self, other)	self / other により呼び出される。
__mod__(self, other)	self
__pow__(self, other)	self ** other により呼び出される。
__neg__(self)	-self により呼び出される。

Poly1.pyには次の固有メソッドが実装されています。

SetChar(chr)	print文による表示における不定元文字chrを設定する。
Horner(const)	ホーナー法により定数constを代入する。
diff1()	一階微分
diff(n)	n階微分

多変数多項式環クラス：PolyM.pyはPythonの組み込み型による有理整数環あるいは有理数体を係数とする多変数多項式環クラスです。

PolyM.py においては多変数多項式が単項式における不定元の添え字と係数の組のリストとして実装されています。

PolyM.py は次の演算子オーバーロードを実装しています。

__add__(self, other)	self + other により呼び出される。
__radd__(self, other)	other + self においてotherで未定義のとき呼び出される。
__sub__(self, other)	self - other により呼び出される。
__rsub__(self, other)	other - self においてotherで未定義のとき呼び出される。
__mul__(self, other)	self * other により呼び出される。
__rmul__(self, other)	other * self においてotherで未定義のとき呼び出される。
__pow__(self, other)	self ** other により呼び出される。
__neg__(self)	-self により呼び出される。

Poly1.pyには次の固有メソッドが実装されています。

SetChars(chrs)

print文による表示における不定元文字列chrsを設定する。