3.2 正弦・余弦定理
著者:梅谷 武
語句:正弦定理, 余弦定理, 正弦余弦定理, スカラー三重積
四元数により球面三角形とその極三角形の性質を代数的に記述し、正弦定理, 余弦定理, 正弦余弦定理を証明する。
作成:2010-07-22
更新:2011-03-08
以後、三次元単位球面S3上で考える。球面三角形A'B'C'は球面三角形ABCの極三角形であるものとし、各頂点の位置ベクトルをα = [OA], β = [OB],
γ = [OC], α' = [OA'],
β' = [OB'], γ' = [OC']とおく。
球面三角形の基本式から
これに極三角形の基本式を代入する。
| (8) | | (cos c + sin c γ')(cos b + sin b β') = cos a - sin a α'
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左辺を展開する。
| (9) | | cos c cos b + sin c cos b γ' + cos c sin b β' +
sin c sin b γ' ∙ β'
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一般にベルソル
α, βについて
が成り立つことから、
| γ' ∙ β' = - | | =
cos(π - a') - sin(π - a') α = cos A - sin A α
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これを
(9)に代入して整理する。
| cos c cos b + sin c sin b cos A +
sin c cos b γ' + cos c sin b β' - sin c sin b sin A α
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の右辺のスカラー部と比較すると次式が得られる。
| cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
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同じくベクトル部と比較すると次式が得られる。
| (10) | | sin c sin b sin A α = sin a α' + cos c sin b β' +
sin c cos b γ'
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に
αを左から作用させ、そのスカラーをとる。
| sin c sin b sin A = sin a Sαα'
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ここで、
より
| sin c sin b sin A = - SαVβγ
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スカラー三重積の性質を使うと
同様にして次が得られる。
(10)に
γ'を右から作用させ、そのスカラーをとる。
| sin a Sα'γ' = sin c cos b - cos c sin b Sβ'γ'
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これに
| Sα'γ' = - cos b' = - cos (π - B) = cos B
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| Sβ'γ' = - cos a' = - cos (π - A) = cos A
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を代入すると次が得られる。
| sin a cos B = sin c cos b - cos c sin b cos A
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スカラー三重積は三つのベクトルが張る平行六面体の体積の符号を反転したものである。
| (14) | | cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
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| (15) | | cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B
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| (16) | | cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C
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| (17) | | sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A
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| (18) | | sin b cos C = cos c sin a - sin c cos a cos B
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| (19) | | sin c cos A = cos a sin b - sin a cos b cos C
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