自然界に多くの対称性が見られるように、我々が作図の対象とする図形にも多くの対称性が見られる。このような図形の作図において、その対称性を有効に活用し、しかもその対称性の記述を群論的な記法により行なう作図法を群論的作図法ぐんろんてきさくずほう, group-theoretical drawingと呼ぶことにしよう。

 ToposNoteにおいては、Luaにおける演算子定義とクラス記述により群論的作図法を実装する。この章はその原理と作図例を示すことを目的とする。

 Luaにおいて図形と変換をそれぞれクラスとして実装し、図形クラスずけいくらす, figure classをF、変換クラスへんかんくらす, transformation classをTで表したときに、図形の変換を左からの作用 と表現し、さらに変換の合成も積*で表し、冪乗を と表現できるようにする。また、T*Fにより図形に変換を施す際に行列スタックの状態を保存するようにして、push, popを書く手間を省く。

std/Figure.lua

-- Figure class
function new( def_func )
local obj = {}
obj.type = "Figure"
obj.func = def_func
return obj
end

std/Transformation.lua

-- operator *
function mul( a, b )
if ( ( a.type == "Transformation" ) and ( b.type == "Figure" ) ) then
dxPushMatrix()
a.func()
b.func()
dxPopMatrix()
elseif ( ( a.type == "Transformation" ) and ( a.type == b.type ) ) then
local tmp = function()
a.func()
b.func()
end
return new( tmp )
else
end
end
 
-- operator ^
function pow( a, n )
if ( a.type == "Transformation" ) then
local tmp = function() end
local answer = new( tmp )
while n > 0 do
if ( n % 2 == 1 ) then
answer = answer * a
end
a = a * a
n = math.floor( n / 2 )
end
return answer
else
end
end
 
-- Transformation class
function new( def_func )
local obj = {}
obj.type = "Transformation"
obj.func = def_func
setmetatable( obj, { __mul = mul, __pow = pow } )
return obj
end