前節において四元数のベクトルへの左あるいは右からの積による作用は、四元数の軸に垂直な平面上での向きを変えない相似変換を引き起こすことを示したが、これはベクトル空間上の変換にはならない。

 零でない四元数qについて、四元数ℍ上の写像 を考える。 より、φ_qは積を保存する線形写像である。さらに より、大きさを保存する。これをベクトルα∈V 3に作用させると となり、φ_qはベクトル空間V³上の直交変換であることがわかる。 より、φ_qはベルソルUqによってのみ定まる。

q∈S³について、φ_qが恒等写像であるとき より、qは大きさが1のスカラー±1である。

 q∈S³について、その軸に垂直な平面上のベクトルαにφ_qを作用させたとき、 は、qの角度をθとするとその軸に関する反時計回りの2θだけの回転である。φ_qがV³上の回転であることがすでにわかっているので、任意のベクトルについても同じ回転である。

 アフィン空間(U,V³)における空間的広がりをもつ物体の姿勢を表現するには、物体が定義されているアフィン標構(O;i,j,k)からの回転φ_q, q∈S³を指定すればよい。

 ベルソル、すなわちS³の元で姿勢を表わすとき、二つの姿勢q₀,q₁の比を で表わす。二つの姿勢比しせいひ, posture ratioが比例ひれい, proportionするとは、それらが定める回転が等しいことをいう。

 物体の運動は時間ℝから運動群V³ ⋊ SO(V³)への微分可能写像で表現することができる。これは重心の並進運動を表わす並進群V³への写像T(t)と、重心の回りの回転運動を表わす回転群SO(V³)への写像R(t)に分離することができる。 重心の回りの回転運動は三次元単位球面への写像と考えることができる。 しかし、±q(t)が同じ回転を表すために、局所的な運動では問題ないが、大域的な運動を考える場合にこの影響が現れる。