1.1節正多角形

原論ではp = 3, 5という素数に対して、正p角形の作図法を与えていますが、その後、それ以外の素数pに対する正p角形の作図法が与えられるのは近代になってからです。高木貞治たかぎていじ, 1875-1960『近世数学史談』の冒頭に、ガウスGauss, Johann Carl Friedrich, 1777-1855が正十七角形の作図法を発見したときの様子が描かれています。

1796年3月30日の朝、十九歳の青年ガウスが目ざめて臥床から置き出でようとする刹那に正十七角形の作図法に思い付いた。

──高木貞治『近世数学史談』より

この発見の意義について、クラインKlein, Felix Christian, 1849-1925が『19世紀の数学』で簡潔に説明しています。

期せずしてこれを発見したとき、ガウスはまだ19歳に満たなかったが、これによって、二千年来発展のなかった正多角形の作図問題は一挙に大きく前進した、というか、最終的な決着がついた、というのも、彼はまもなく、任意の正多角形の作図可能性はnの数論的性質にのみ依存することを見抜き、その判定条件を与えることに成功したからである。たとえば、nが素数のときには

n = 2^{2^k} + 1

の形でなければならないというのである。

──クライン『19世紀の数学』より

この形の素数はフェルマー素数F_kと呼ばれ、現在まで知られているものは次の五つです。

F₀

2¹ + 1 = 3

F₁

2² + 1 = 5

F₂

2³ + 1 = 17

F₃

2⁴ + 1 = 257

F₄

2⁵ + 1 = 65537

ガウスはnの奇素因数がフェルマー素数のときにだけ、定規とコンパスで作図できることを示しました。このことから正七角形や正九角形は作図できないことがわかります。

近年、折り紙による作図法の研究が進み、角の三等分や正七角形・正九角形等の作図法が発表されており、定規とコンパスによる作図法を拡張する試みとして注目されています。[4]

1.1.2 現場で使える作図法

原論における定規とコンパスによる作図法は、あくまでも数学の理論体系を構築することを目的としており、当時においても建築や工芸の現場では原論の作図法がそのまま使われることはなかったでしょう。

ドイツ・ルネサンスを代表する画家アルブレヒト・デューラーDürer, Albrecht, 1471-1528は『測定法教則』で「理論を学ばなければ真の工匠にはなりえない」と原論を賛美する一方で、さまざまな数学器具を使った実践的な作図法について解説しています。

現代において一般的に作図といえば、CGやCADにより数値的に図形を定義することを指していると考えてかまいません。計算機は有理数しか扱うことができませんが、必要な精度の近似を使うことでどんな図形でも描くことができます。現代の作図法は、実数論上に構築された幾何学や解析学に基づくものですが、原論の立場からは正n角形を必要なだけ近似する方法を与えていると解釈することができます。

正n角形を描くことは円をn等分することと同じですから、角度を弧度法で表わすとすれば、X-Y平面上に半径1の円を描いたとき、円周上のn個の点