同時には0にならない四つの実数の組の集合を考えます。 この集合を次のような同値関係で分類します。 この同値類を で表わすことにします。第4成分が0でない同値類全体は と表現することができます。これは平面と同じものが埋め込まれているとみなすことができ、アフィン空間あふぃんくかん, affine spaceと呼ばれます。第4成分が0の同値類は と表現することができ、この全体は射影平面P²と同じもので、無限遠平面むげんえんへいめん, plane at infinityと呼びます。この同値類全体の集合 を射影空間しゃえいくうかん, projective spaceと呼びます。

 射影空間P³には一般線形群GL(4,ℝ)が作用します。 は射影空間上の恒等変換を引き起こしますから を射影空間P³上の射影変換群と呼ぶことにします。これはSL(4,ℝ)をその中心で剰余したもの に同型です。

 さまざまな立体幾何の変換群の包含関係は次のようになりました。