6.2節ノルムと内積

著者:梅谷武
語句:ノルム, 内積

空間に付随するベクトル空間上のノルムと内積を定義する。

作成:2009-09-16
更新:2011-03-08

6.2 ノルムと内積

6.2.1 ノルム

空間に付随するベクトル空間V³に属するベクトルaは空間内の二点P,Qによって、a = [PQ]と表されます。このとき、ベクトルの長さによってノルムを定義します。

:= [PQ]

命題6.2.1.2

空間に付随するベクトル空間V³上のノルムは次の性質を満たす。

(N1)	a ≧ 0, a ∈ V³かつa = 0 ⇔ a = 0
(N2)	λ a = λ a, a ∈ V³, λ ∈ ℝ
(N3)	a + b ≦ a + b, a,b ∈ V³

証明

略■

正規直交座標系(O;e₁,e₂,e₃)を定め、任意のベクトルaを

a = μ e₁ + ν e₂ + ξ e₃

と座標表現します。線長量u = e₁ = e₂ = e₃を単位として線分の長さを測るとき、a = λ uとおくと、ピュタゴラスの定理から

λ u ⊗ λ u =

u ⊗

u +

u ⊗

u +

u ⊗

が成り立ち、テンソル積の双線形性により、

λ² = μ² + ν² + ξ²

となり、

λ = √μ² + ν² + ξ²

と求めることができます。

ノルムに単位uによる測定写像

u^-1:L = ℝu

ℝ, a =

u^-1(a) =

を合成すると

V³

ℝ⁺, a

u^-1(

) = λ = √μ² + ν² + ξ²

となります。以後、座標表現されている場合は原則として測定写像を合成します。

空間内の二点P,Qの距離はd(P,Q) = [PQ]によって定義されていましたから

(6.1)

d(P,Q) =

[PQ]

[OP] - [OQ]

が成り立ちます。

6.2.2 内積

空間内の二つのベクトルa,bの内積は、それらが同一平面上にあることから平面ベクトルの内積と同様に定義することができます。

V³ × V³

A, (a,b)

〈a,b〉 := cos θ

⊗

正規直交座標系(O;e₁,e₂,e₃)を定めたときの内積の座標表現を求めます。二つのベクトルa,bが次のように座標表現されているとします。

λ₁ e₁ + μ₁ e₂ + ξ₁ e₃ =

λ₁

μ₁

ξ₁

λ₂ e₁ + μ₂ e₂ + ξ₂ e₃ =

λ₂

μ₂

ξ₂

このとき余弦定理から次の公式が導かれます。

(6.2)

cos θ =

λ₁λ₂ + μ₁μ₂ + ξ₁ξ₂

√λ₁² + μ₁² + ξ₁²√λ₂² + μ₂² + ξ₂²

線長量の単位uによって

⊗

√λ₁² + μ₁² + ξ₁² u ⊗ √λ₂² + μ₂² + ξ₂² u

√λ₁² + μ₁² + ξ₁² √λ₂² + μ₂² + ξ₂² u ⊗ u

と書くことができますから、測定写像

u^-1:A = ℝ u ⊗ u

ℝ, a =

u ⊗ u

を合成すると次のようになります。

V³ × V³

ℝ, (a,b)

u^-1(〈a,b〉) = λ₁ λ₂ + μ₁ μ₂ + ξ₁ξ₂

以後、座標表現されている場合には原則として測定写像を合成します。

〈a,b〉 = ^ta b = ( λ₁ μ₁ ξ₁ )

λ₂

μ₂

ξ₂

= λ₁ λ₂ + μ₁ μ₂ + ξ₁ξ₂

命題6.2.2.2

空間に付随するベクトル空間V³上の内積は双線形かつ対称、正値である。すなわち、次が成り立つ。

(IN1)	〈 a + b, c 〉 = 〈 a, c 〉 + 〈 b, c 〉, a,b,c ∈ V³
(IN2)	〈 a, b + c 〉 = 〈 a, b 〉 + 〈 a, c 〉, a,b,c ∈ V³
(IN3)	λ 〈 a, b 〉 = 〈 λ a, b 〉 = 〈 a, λ b 〉, a,b ∈ V³, λ ∈ ℝ
(IN4)	〈 a, b 〉 = 〈 b, a 〉, a,b ∈ V³
(IN5)	〈 a, a 〉 ≧ 0, a ∈ V³ かつ〈 a, a 〉 = 0 ⇔ a = 0