自然数m,nについて、mn個の体Kの元を縦横を揃えて並べたもの を(m,n)型の行列ぎょうれつ, matrix、あるいは(m,n)行列といいます。i番目の行 を第i行といい、j番目の列 を第j行といいます。

 体K上の(m,n)行列全体をM(m,n,K)、(n,n)行列全体をM(n,K)と書くことにします。同じ型の行列の和を次のように定義します。 この和によりM(m,n,K)は加法群になります。Kの元cの行列への作用を次のように定義します。 これによりM(m,n,K)はK上の線形空間になります。

 列の数と行の数が一致している二つの行列については積を定義することができます。(l,m)型と(m,n)型の行列の積は次のようになります。

 V,WをK上の線形空間で、それぞれ基底(e₁,⋯,e_n), (u₁,⋯,u_m)をもつものとします。 f:V → WをK上の線形写像とすると、 により、(m,n)行列(a_ij)_{1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}が定まります。

 x ∈ Vの基底(e₁,⋯,e_n)による表現を y=f(x) ∈ Wの基底(u₁,⋯,u_m)による表現を とすると が成り立ちます。これを線形写像の行列表現といいます。

 平面(E,V²)において、二つの座標系(O;e₁,e₂),(O';e₁',e₂')が与えられたとしましょう。このとき、二つの座標系で表現される二つの座標の間の関係について考えます。

 まず、後の座標系を前の座標系で表しておきます。 任意の点Pを与え、その(O;e₁,e₂)による座標を(p₁, p₂)、(O';e₁',e₂')による座標を(p₁', p₂')とします。 これらを使うと となり、係数を比較することによって次が得られます。 これを行列表現します。 次のようにまとめて行列表現することもできます。

 同じように座標系(O';e₁',e₂')から(O'';e₁'',e₂'')への座標変換 が与えられたとしましょう。このとき、座標変換を合成して座標系(O;e₁,e₂)から(O'';e₁'',e₂'')への座標変換を作ることができます。 二つの変換行列の積が合成した座標変換の変換行列になります。

 もし、(O;e₁,e₂)と(O'';e₁'',e₂'')が一致していれば、合成した変換行列は単位行列になりますから、逆変換の行列は元の行列の逆行列になることがわかります。