ここでは線長量L⁺を固定して考えます。命題VI-12「与えられた三つの直線に比例する第四の直線を見出すこと。」によって、L⁺の任意の比a:bと任意の元cを与えたときに、α ∈ a, β ∈ b, γ ∈ cを適当にとれば、a:b=c:dなるδ ∈ d = [δ]を作図することができます。

 これは比a:bがL⁺上の変換を定めていると考えることができます。 命題V-12より、この写像は半加群としての準同型写像になっています。 命題V-14より、この写像は順序を保存します。 さらに全単射であり、順序半加群L⁺としての自己同型写像になっていることもわかります。

 一般に線長量の半加群としての自己同型写像と数比には次の関係が成り立ちます。

 アルキメデス性を用いると線長量の稠密性を証明することができます。

 ここまでの準備によって、線長量L⁺の半加群としての自己同型群Aut(L⁺)と線長比R_L⁺は一対一に対応するという次の定理を証明することができます。

 以後、R_L⁺とAut(L⁺)を同一視し、R_L⁺の元を比と考えるときはa:bと書き、自己同型写像φ_a:bと考えるときは と書くことにします。ここで注意すべきは自己同型写像φ_a:bが、a:bを慣例上の方法で分数と考えたときの逆比になっていることです。

 線長比は単なる線形変換ではなくて相似変換になっています。

 R_L⁺は自己同型群、すなわち写像の合成に関して群になります。単位元は で、 に対して が逆元になります。これは比でいえば逆比に対応します。

 線長比R_L⁺に加法を次のように導入します。

 L⁺が可差半加群であることから、R_L⁺も可差半加群になります。さらに順序について次が成り立ちます。a,b,c,d ∈ L⁺とすると

 前小節の結果から、線長比R_L⁺の閉包R_L⁺は可差半環であり、対称化すればアルキメデス的順序環になることがわかりました。これは自然に線長量L⁺を対称化した順序加群Lの比であると考えることができます。線長量L⁺を対称化するとL = L⁺ ∪ {0} ∪ L^-となりますが、この中で0でないものをL^× = L⁺ ∪ L^-とし、その直積集合を比の集合と考えます。 そして比例の定義を次のように拡張します。

 このような拡張によって、無向量の比に関する命題を自然に対称化無向量に拡張することができます。この比例類の集合をR_L^×と書くことにしましょう。

 線長比R_L⁺を対称化したときの負の元は と書くことができますが、これは、比としては に対応し、L^×上の変換としては正の部分を負の部分に、負の部分を正の部分に写す符号を反転する変換になります。

 R_L^×の元は線長比の比例類と考えるよりは、その比例類が定める線長量L上の相似変換と考えるのが適切です。

 R_L := R_L^× ∪ {0}とおくと、これは線長比R_L⁺の閉包を対称化したアルキメデス的順序環と同じものです。零元以外の元はすべて逆元をもちますから次が得られます。

 同じようにして数比ℚ⁺を対称化したものを有理数ゆうりすう, ratinal numberℚと呼ぶことにすれば次が得られます。

 一般にアルキメデス的順序体Rの距離dは、絶対値を使って、 と定めます。これは正値性、対称性、三角不等式を満たし、これにより収束概念やCauchy列、完備性を定義できます。実数論を認めれば、完備なアルキメデス的順序体は実数じっすう, real numberℝが唯一無二のものですから、すべてのアルキメデス的順序体は実数ℝの部分順序体として埋め込むことができます。したがって、線長比R_Lは有理数ℚを含む実数ℝの部分順序体とみなすことができます。

 命題VI-13「与えられた二つの直線の比例中項を見出すこと。」は、二つの線長量a,b ∈ L⁺が与えられたとき、 なる比例中項c ∈ L⁺が常に存在することを意味しています。この比例中項により分解された比を元の比の 平方根へいほうこん, square rootと呼び、 と書きます。

 言い換えれば、線長比R_L⁺の任意の元λについて、代数方程式 はR_L⁺において一意的な解√λを持ちます。R_Lで考えれば-√λも解になりますから、解は± √λとなります。