数学教育史における数と量

著者:梅谷武

数学教育において数と量がどのように扱われてきたかについてまとめる。

作成:2006-08-17
更新:2011-03-10

日本の歴史上、公式に数学という言葉が使われたのは、1855年に幕府によって外交・軍事科学のための翻訳・調査機関として設立された蕃書調所(ばんしょしらべしょ)が、蘭学一辺倒から英語・仏語・独語へと範囲を広げ、洋書調所と改称し、1864年に数学科を作ったのが始まりであると思われます。これを引き継いだ明治政府は1877年(明治10年)に東京大学を創設し、ケンブリッジ大学で数学と物理学の学位を取得した菊池大麓(当時22歳)が初代の日本人教授となりました。

東京大学理学部数学科の卒業生は1889年までに6名しかいませんでした。その一人で1882年卒業の藤沢利喜太郎は菊池からヨーロッパ留学を勧められ、ロンドン大学、ベルリン大学、シュトラスブルグ大学に学びます。1886年に学位論文をシュトラスブルグ大学に提出し、翌年帰国しましたが、藤沢は当時の最先端の数学を学んだ最初の日本人とされ、その後の日本の数学に多大な影響を残すことになります。

東京大学が設立された1877年には、現在の日本数学会と日本物理学会の前身である東京数学会社も設立されました。東京数学会社では1880年から訳語会を設置し、1880年9月の第１回訳語会では、

(1)	quantity 数量
(2)	unit ?
(3)	number 数

そして、第１４回訳語会でmathematicsの訳語を数学と定めました。

mathematicsの語源はギリシャ語のマテーマタ(μάθηματα)にあります。マテーマタとは「学ぶ」という動詞マンタノー(μανθάνω)から派生した「学ばれるべきもの」という意味のマテーマ(μάθημα)の複数形です。今日の言葉で置き換えると「必修科目」となるのでしょうか。

プラトンは『国家』において、さまざまな国家形態について考察した上で、理想的な国家は哲学を修めたものによって運営されるべきだと主張しました。そして、そのような国を治める人間を育てるための教育課程の目的は、感覚的によってとらえる世界から思考によって理解する世界へ魂を向けかえることであり、その具体的な科目としてはピュタゴラス派を起源とするマテーマタの諸科目がふさわしいとしています。

プラトンと同時代(前４世紀頃)のピュタゴラス派のアルキュタスはマテーマタについて次のように語っています。

「マテーマタにたずさわる人は正しい認識を得ていると私には思われる。
(中略)
かくして彼らはわれわれに、星の速さとそれらの出没について、また幾何学と数と球面学について、また同様に音楽について、明瞭な認識を与えてくれた。実際これらのマテーマタは兄弟であると思われる。というのも、これらのマテーマタは存在するものの最も原初的な二つの兄弟的な類(すなわち数と量)を研究するからである。」

また、プロクロス(５世紀頃)はユークリッド原論の註釈で次のように述べています。

「ピュタゴラス派の人々はすべてのマテーマタを４つに分けた。その一つを数に、今一つを量に区分した。そして、それぞれをさらに二つに分けた。それというのも、数はそれ自身として存在するか、または他の数との関係で考えられるかのいずれかであるし、量も静止においては運動においてかのいずれかだからである。数論は数自身を、音楽は他の数との関係で、幾何学は静止における量を、天文学は運動における量を考えるのである。」

この頃にはマテーマタは数論・音楽・幾何学・天文学の四(Quadrivium)に集約され、数と量を静止・運動という２種類の枠組みで研究するものであると明確に意識されるようになっています。その後、修辞学・文法・論理学の三科(Trivium)が付け加えられ、中世の大学の「自由七科」(リベラルアーツ)に変化していきました。

このように数学の語源であるマテーマタは古代から中世の大学における必修科目であり、それは数と量について研究するものでした。

2 幕末における西洋数学の受容

1534年にイグナティウス・デ・ロヨラと六名の同志によって創設されたローマ・カトリック教会傘下の修道会であるイエズス会は、高等教育をその活動の柱とし、ルネサンス期の数学文化の普及に大きな役割を果たしています。デカルト(1596-1650)もイエズス会のコレージョ・ラフレーシュに学んでおり、その哲学の形成に大きな影響があったと考えられます。

このイエズス会の数学教育を創り上げたのが、コレージョ・ロマーノの数学教授であったクリストフ・クラヴィウス(1538-1612)です。クラヴィウスが編纂したユークリッド『原論』への序説には、プラトン『国家』の洞窟の喩えが引用された後、

それゆえ、知性が、感覚に従事した質料と関係した自然学的事物から、質料から非常に隔絶された形而上学的事物へと上昇するためには、知性が、これらの事物の明るさで眼暗ませないように、まず数学者たちによって考察されるもっと抽象度の低い事物に慣れ親しみ、それらをより容易に理解できるようになることが必要である。

と数学を学ぶ意味が説明されています。ここでいう形而上学はいわゆるスコラ哲学であって、プラトンの哲学とはやや意味が異なっていますが、最終的な目標を哲学の習得におき、その予備教育のカリキュラムとして数学をとらえているという意味ではアカデメイアの精神とほとんど同じものといっていいでしょう。

コレージョ・ロマーノでクラヴィウスから直接教えを受けたマテオ・リッチ(1552-1610)はクラヴィウスの『原論』の最初の６巻を中国語に訳し、1607年に『幾何原論』として出版しました。マテオ・リッチを始めとするイエズス会士達はルネサンス期の西欧の数学・天文学・地理学全般について中国に伝えました。

イエズス会の創設メンバーであるフランシスコ・ザビエル(1506-1552)は1549～1551年に日本で宣教活動を行ない、日本の指導者達が数学や天文学に大きな関心を寄せていることをイエズス会に報告しています。1602年にやはりクラヴィウスに学んだカルロ・スピノラ(1564-1622)が日本にやってきて、日本人が数学や天文学に興味を示していることを報告しています。彼が京都滞在中に天文学や暦学を教授していることが記録に残っていますが、和算との関係はよくわかっていません。当時の京都にはまだ少年であった吉田光由(1598-1672)がおり、江戸時代のミリオンセラー『塵劫記』が1627年に最初に出版されていますが、そこにはイエズス会の数学の直接的な影響は見られません。

明朝や清朝がキリスト教というよりも数学や天文学を学ぶためにイエズス会士を積極的に受け入れたのに対して、徳川幕府は禁教令によってキリシタンを迫害し、1622年9月10日長崎の西坂でカルロ・スピノラを含むキリスト教徒55名を火刑と斬首によって処刑しました。これは元和の大殉教と呼ばれ、この処刑の様子を見ていた修道士が描いた「元和大殉教図」はイエズス会本部であったローマのジェズ教会に現在も保管されています。

日本で最初にマテーマタの精神を観念的に理解したのは幕末の和算家・暦法家で後に学士院会員となった内田五観(1805-1882)であったという研究が発表されています。(川尻信夫,文献[5]) それによりますと、内田五観は幼少期より関流に学び、そのずば抜けた才能により16歳で関流六世となります。さらに中国経由のイエズス会系数学・天文学を学んだ後に、高野長英の弟子となり蘭学を学びます。

高野長英はディドロ・ダランベールの『百科全書』の哲学の記述に類似した文章を残していることから、西洋哲学史にかなり精通していたと考えられ、そのことから内田は中国とオランダという異なった経路からマテーマタの精神に接することになったと推測されます。

内田五観は1835年にmathematicsを詳証学という訳語で紹介し、この言葉は、後に佐久間象山も「詳証術は万学の基本なり」というように使っています。この「詳証」という言葉は明朝のイエズス会士らによって作成された暦学書『崇禎暦書』に現れており、これを引用したものと考えられます。

川尻信夫氏はmatimaticsを数学と訳したことについて、次のように書いています。

このような立場から考えると、数学という言葉自体が非常な問題を含んでいる。現在使われているこの数学という言葉は、mathmaticsの訳語として明治十五年に正式に採用されたものであって、日本語として古い伝統を持つものではない。それまでは、わが国では、算とか算学とかいういろいろな言葉が使われていたが、これらはもちろん、mathematicsと等置できるような広さも深さも持つものではない。

(中略)

このような広い範囲と錯雑した歴史を持つmathematicsという言葉と、現在の日本人の常識の中にある数学、さらには和算までを等置したら、誤解ないし混乱が生ずるのは当然である。

マテーマタの意味を考えれば、その訳語としては数学よりは詳証学の方がすぐれていると思われますが、内田の詳証学は広く受け入れられることはなく、ある時期から内田は詳証学ということを言わなくなってしまいました。一時、行動をともにした蘭学の師高野長英は捕吏に追われて自害し、佐久間象山は暗殺されました。この二人とは対照的に徳川幕府や明治政府に重用された内田ですが、幕末から明治維新にかけて官吏として生き抜くためには自らの思想・信条を抑えることも必要であったのかもしれません。

しかし、詳証学が適当であるかどうかは別にして、mathematicsを安易に数学と訳してしまったことによって生じた混乱は今なお続いていると考えられます。日本は哲学の予備教育としてのマテーマタという考え方をそのまま受け入れることができず、和算のような一種の芸事あるいは科学技術の道具というように矮小化してとらえることしかできなかったということなのでしょうか。

3 明治期の日本の数学教育 ─幾何と算術─

1607年に中国でイエズス会のマテオ・リッチと徐光啓によって、クラヴィウスのラテン語版『原論』の最初の６巻が翻訳されましたが、これが1720年より前に日本へ輸入された記録が残っています。しかし、当時の和算家の評価は低く、この時期にユークリッドの精神が理解されることはなかったようです。

日本人としてユークリッドの『原論』を最初に学んだのは、ケンブリッジ大学に留学した菊池大麓ではないかと考えられます。当時のイギリスではすでに数学教育改革運動が始まっていて、1871年に幾何学教授法改良協会というものが設立され、1875年に"Syllabus of Plane Geometry"が発表されています。菊池大麓はこれを基にして1888年に『初等幾何学教科書(平面幾何学)』を作りました。これは、改良されているものの原論の第１～６巻に対応しています。５・６巻の比例論もほぼそのままの形で教えるようになっていますので、中等教育用教科書としては現在よりもはるかに難解です。

ヨーロッパ留学から帰国した後、東京帝国大学教授となった藤沢利喜太郎はおもに代数学の講義を充実させ、高木貞治らの数学研究者を育てる一方で、日本における近代的な数学教育の確立に力を注ぎ、明治38年から昭和9年まで使われた通称『黒表紙』と呼ばれる国定教科書『尋常小学校算術書』等数多くの教科書を編纂しました。

藤沢利喜太郎の数学教育の特徴として、旧来の算術から量の概念を捨て去り、純粋な数の計算にしたということがあります。明治25年(1892)に書かれた『算術条目及教授法』に藤沢の考え方を強く表現した一節があります。

「かくの如く、量と云ふ様なる外物の数学(少なくも幾何学以外の数学)に不必要なるは数学其の物の性質中に存在するものにして、従つて此の量と云ふ様なる外物的観念を数学中から放逐すること(方便として存するは勿論別事なり)は数学者、教育家の多年希望せるところなりし。而して此の希望は今日は最早満足せられたるものなり。」

この文章は東京帝国大学教授になったとはいえ藤沢が31歳のときに書いたもので、この部分だけを抜き出して読むとかなり乱暴な議論のように感じます。しかし、藤沢がベルリン大学でクロネッカーの講義を受けていたことを考えると少しは状況を理解することができるようになります。

クロネッカーは数学の基礎についてはかなり特殊な立場をとっていて、自然数のみが唯一存在が認められるものであるとして、当時脚光浴びていたカントールの集合論を徹底的に批判しました。そして、有限主義あるいは直観主義のさきがけとなりました。

(蛇足ですが、個人的に量の放逐には賛成しかねますが、プログラマーとしての立場からすると有限主義の数学には魅力を感じています。というのも計算機には有限の立場でしか数学を表現することができないからです。)

藤沢は一方で、幾何に関して「我国今日の有様ではユークリッド流は最も適して居ると思います。」と発言しており、恩師の菊池大麓に対する配慮もみせています。

4 ユークリッドの追放運動

近代の数学教育においてユークリッドの追放ということをはっきり言い出したのは、ジョン・ペリー(John Perry, 1850-1920)とフェリックス・クライン(Felix Christian Klein, 1849-1925)であると思われます。ペリーとクラインの「数学教育改革論」は日本語に訳されていますが、これを読むと当時の雰囲気をある程度知ることができます。

数学においては同じヨーロッパでもイギリス・フランス・ドイツではかなり事情が異なっています。フランスでは18世紀ぐらいから原論を改良する試みが盛んに行われていて、ルジャンドルの『幾何学』のような教科書が人気を博していました。一方、イギリスでは19世紀末までユークリッド原論がそのまま教科書として使われており、原論の一字一句を暗記するような教条主義的な数学教育が行われていました。ですから、ジョン・ペリーがユークリッドの追放を言い出したときに、それが多くの人々の支持を受け、数学教育の近代化運動へとつながっていったのは必然的なことであったと思われます。

ジョン・ペリーは1875～1879年に工部大学校(東京大学工学部の前身)で土木工学を教えていますので、藤沢と面識があった可能性もあると思われます。藤沢がヨーロッパに留学した時期にはこのような時代背景がありました。藤沢の文章に

「此の量と云ふ様なる外物的観念を数学中から放逐することは数学者、教育家の多年希望せるところなりし。」

という部分がありますが、これは明治初期まで数学(マテーマタ)が存在しなかった日本の当時の教育者が自らの言葉として語れるものではありません。

クラインは『高い立場からみた初等数学』でかなりのページ数をさいてユークリッド原論を批評しています。そして、その要点を次のようにまとめています。

偉大な歴史的意義をもつ。
多くの面で現代数学のやり方の方が進んでいる。
重要な部分で疑問がある。
代数的な手法が存在しないために不必要に重苦しい。
全内容の理解と内部の関連性の理解が困難である。

1950年代にブルバキを主導していたデュドンネがやはりユークリッド式幾何学教育の廃止ということを言い出しました。このデュドンネの主張はジョン・ペリーのときとは異なって広く受け入れられることはありませんでした。その理由はデュドンネが書いた高校生向け幾何学テキスト『線形代数と初等幾何』をながめるとよくわかるでしょう。ヒルベルトの『幾何学基礎論』には豊富な図がありますが、デュドンネの本は題に初等幾何という言葉が含まれていますが、図は一切無く、まさに高校生向け『数学原論』といったような趣を持っています。

5 数学教育のルネサンス

古代ギリシャから少なくとも中世の大学のリベラルアーツまでは、マテーマタは数と量を研究するものでした。しかし、近代あるいは現代において数学は、マテーマタとは乖離し、数学教育の近代化・現代化においては、マテーマタの原典であったユークリッド原論を追放することがスローガンとされました。しかし、その運動の根拠とされたものは、原論の内容や形式の不備であり、近代における代数学や解析学の発達であり、教条主義的な数学教育でした。しかし、ユークリッドの思想が間違っているというような議論は見当たりません。

現代数学は数の概念をその中心におき、すべてを数から構成していくというやり方で大成功を収めました。しかし、論理体系としてはすぐれていても、誰もが直感的なイメージとして思い浮かべることができるユークリッドのやり方とはかなり違ったものになってしまいました。その究極の姿としてデュドンネの図が一切でてこない初等幾何の教科書があります。

音楽における現代音楽と古典音楽、建築における現代の高層建築と古典的な様式の建築物を考えてみてもわかるように、多くの人々にとっては古典の方がなじみやすいという現実があります。これは、それらの人々の知性が劣っているということではなく、人間のもつ根源的なものに関係しているような気がします。長い時間を越えて生き残ってきた古典にはそのような深さがあります。

こういうことからマテーマタを教育過程の中心にすえるという思想はいまだに生きているのではないかと考えられます。もちろん、ユークリッド原論をそのまま教科書にすることはできませんが、その内容と形式を整備して、より完成度の高い体系として再構築することによって、古典を現代に甦らせる事は可能ではないでしょうか。

数と量の概念を通して自然を理解することを目的とする教育が必要であることは時代が変わっても普遍的なものでしょう。その意味で歴史上何度も繰り返されてきたルネサンスが数学教育においても必要になってきているのかもしれません。

6 参考文献

[1] 「日本の数学１００年史」編集委員会編, 日本の数学100年史〈上〉, 岩波書店, 1983

[2] 彌永昌吉, 伊東俊太郎, 佐藤徹, 数学の歴史〈1〉ギリシャの数学, 共立出版, 1979

[3] 上垣渉, はじめて読む数学の歴史, ベレ出版, 2006