外部の点Dから円ABCへ二直線DCAとDBが引かれており、DCAは円を切り、DBは円周上に端点をもつとする。このとき、ADとDCの積である長方形がDB上の正方形に等しければ、DBは円ABCに接していると主張する。

 DEをABCに接するように引き[命題III-17]、円の中心をFとし、FE、FB、FDを結ぶ。角FEDは直角である[命題III-18]。DEは円ABCに接しており、DCAは円を切っているから、ADとDCの積である長方形とDE上の正方形は等しい[命題III-36]。また仮定より、ADとDCの積である長方形とDB上の正方形は等しい。したがって、DE上の正方形はDB上の正方形に等しく、DEはDBに等しい。FEはFBに等しいから、二辺DE、EFは二辺DB、BFにそれぞれ等しく、底辺FDは共通である。よって、角DEFは角DBFに等しい[命題I-8]。DEFは直角であるから、DBFも直角である。FBを延長すると直径になり、円の直径の端点から直角に引かれた直線は円に接するから[命題III-16系]、DBは円ABCに接する。同じようにして、AC上に中心がある場合も示すことができる。

 ゆえに、円の外部にある点から、円周上への直線と、円を切る直線が引かれ、円を切る直線の全体とその直線の円の外部にある部分の積である長方形が円周上への直線上の正方形に等しいとき、円周上への直線は円に接する。これが証明すべきことであった。