整数論事始総目次

整数論事始総目次

集合と写像
Pythonによる代数系の表現
Rubyによる代数系の表現

第1章数と論理

1.1 自然数
1.2 整数

定義1.2.3 加法群

定義1.2.6 可換環

定義1.2.9 整域

定義1.2.11 順序関係

定義1.2.13 順序環

命題1.2.15 順序環の性質

命題1.2.19 整数の性質

定義1.3.2 同値関係

定義1.3.6 体

定義1.3.12 群

命題1.3.20 順序体の性質

1.4 記数法
1.5 冪乗

命題1.5.2 指数法則

算法1.5.8 繰り返し二乗法

sample1.5.3.pyの実行結果

sample1.5.3.rbの実行結果

1.6 等差数列

図1.6.3 1から5までの和

図1.6.11 三角数と平方数

図1.7.2 多角数

算法1.7.6 正整数の三角数分解

sample1.7.1.pyの実行結果

sample1.7.1.rbの実行結果

図1.8.2 四面体数

図1.8.5 四角錐数

図1.8.8 乗算表と平方数及び四面体数

図1.8.11 乗算表と立方数

1.9 数学的帰納法と背理法

公理1.9.3 自然数の公理

定理1.9.5 数学的帰納法I

定理1.9.9 数学的帰納法II

定理1.9.12 数学的帰納法III

定理1.9.18 自然数の整列性

定理1.9.20 除法の原理

定理1.9.23 無限降下法

1.10 多角数と平方数の関係

研究課題1.10.2 多角数と平方数の関係

第2章ユークリッドの互除法

2.1 互除法の起源
2.2 最大公約数

命題2.2.3 整除関係の順序性

図2.2.13 gcd(12,15)の幾何学的解法

算法2.2.15 ユークリッドの互除法

sample2.2.5.pyの実行結果

sample2.2.5.rbの実行結果

2.3 最小公倍数

図2.3.2 (12) ∩ (15)

図2.3.4 lcm(12,15)の幾何学的解法

算法2.3.7 ユークリッドの互除法の逆

命題2.3.9 最大公約数と最小公倍数の関係

sample2.3.1.pyの実行結果

sample2.3.1.rbの実行結果

2.4 イデアル

定義2.4.2 イデアル

定義2.4.6 環上の加群

図2.4.27 (12,15)

図2.4.33 (ℕ,|)と(ℑ(ℤ),⊆)の双対性

図2.4.36 [15,60]と[3,13]、[3,15]と[12,60]の同型対応

2.5 有理整数論の基本定理

定理2.5.3 素数の特徴付け

定理2.5.7 有理整数論の基本定理

2.6 一次不定方程式

図2.6.6 15X + 12Y = 3の整数解

算法2.6.11 拡張互除法

sample2.6.3.pyの実行結果

sample2.6.3.rbの実行結果

sample2.6.5.pyの実行結果

sample2.6.5.rbの実行結果

第3章多項式と形式的冪級数

3.1 代数記号の歴史

古代のバビロニアとギリシア

ディオファントス

表3.1.5 ディオファントスの代数記号

表3.1.7 古代ギリシャの数字

中世インド

中世アラビア

中世イタリア

表3.1.22 中世イタリアの代数記号

ラファエル・ボンベッリ

フランソワ・ヴィエト

シモン・ステヴィン

ルネ・デカルト

3.2 一変数多項式と形式的冪級数

一変数多項式の計算

命題3.2.18 可換環上の多項式環における除法の原理

命題3.2.21 体上の多項式環における除法の原理

sample3.2.1.pyの実行結果

sample3.2.1.rbの実行結果

3.3 ユークリッド整域

定義3.3.2 ユークリッド整域

3.4 多変数多項式と形式的冪級数

多変数多項式の計算

sample3.4.1.pyの実行結果

3.5 一意分解整域

補題3.5.5 ガウス

命題3.5.19 Eisenstein

3.6 微分と代数方程式

多項式の微分

形式的冪級数の微分

代数方程式

算法3.6.46 ホーナー法

sample3.6.17.py

sample3.6.17.pyの実行結果

sample3.6.17.rb

sample3.6.17.rbの実行結果

sample3.6.22.py

sample3.6.22.pyの実行結果

sample3.6.22.rb

sample3.6.22.rbの実行結果

3.7 一元不定方程式

命題3.7.2 整係数一元不定方程式

命題3.7.8 整係数一元代数方程式の有理解

sample3.7.4.pyの実行結果

sample3.7.4.rbの実行結果

sample3.7.5.pyの実行結果

sample3.7.5.rbの実行結果

3.8 多項式環における互除法

第4章三角形算術

4.1 ヴェーダの韻律学

図4.1.7 展開図表

sample4.1.1.pyの実行結果

sample4.1.1.rbの実行結果

sample4.1.2.pyの実行結果

sample4.1.2.rbの実行結果

軽音節計算

図4.1.20 メール展開図表

4.2 パスカルの算術三角形論

図4.2.3 パスカルの算術三角形

図4.2.5 生成規則

sample4.2.1.pyの実行結果

sample4.2.1.rbの実行結果

図4.2.12 底辺と分割線

命題4.2.15 算術三角形に関する19の帰結

命題4.2.20 算術三角形の階乗公式

命題4.2.27 算術三角形と重和

組み合わせ

補題4.2.31 組み合わせの加法公式

命題4.2.34 算術三角形と組み合わせ

命題4.2.40 組み合わせに関する19の帰結

図4.2.43 組み合わせで表現した算術三角形

定理4.2.46 二項定理

4.3 関・ベルヌーイの冪和公式

パスカルの冪和公式

命題4.3.9 パスカルの冪和公式

関・ベルヌーイの冪和公式

命題4.3.15 関・ベルヌーイの冪和公式

4.4 スターリング数と冪和公式

図4.4.5 階乗で表現した算術三角形

補題4.4.8 第1種スターリング数の加法公式

図4.4.11 生成規則

図4.4.13 第1種スターリング数の三角形

sample4.4.1.pyの実行結果

sample4.4.1.rbの実行結果

補題4.4.21 第2種スターリング数の加法公式

図4.4.24 生成規則

図4.4.26 第2種スターリング数の三角形

sample4.4.2.pyの実行結果

sample4.4.2.rbの実行結果

命題4.4.35 スターリング数による冪和公式

系4.4.37 ベルヌーイ数の計算公式I

sample4.4.3.pyの実行結果

sample4.4.3.rbの実行結果

4.5 ベルヌーイ数の母関数

命題4.5.13 オイラー

4.6 行列と反転公式

命題4.6.8 スターリング数の反転公式

命題4.6.10 二項係数の反転公式

差分と和分

図4.6.23 生成規則

図4.6.26 差分の三角形

sample4.6.5.pyの実行結果

sample4.6.5.rbの実行結果

ベルヌーイ数の算法

命題4.6.37 ベルヌーイ数の計算公式II

sample4.6.6.pyの実行結果

sample4.6.6.rbの実行結果

第5章合同式

5.1 数の合同

フェルマー数

ファウルハーバーの定理より

グレゴリオ暦

sample5.1.11.py

sample5.1.11.pyの実行結果

sample5.1.11.rb

sample5.1.11.rbの実行結果

5.2 一次合同式

連立一次合同式

定理5.2.10 中国の剰余定理I

算法5.2.13 ガーナー法

sample5.2.4.pyの実行結果

sample5.2.4.rbの実行結果

秦九韶の大衍求一術

定義5.3.6 環の準同型写像

定理5.3.13 環の準同型定理

図5.3.15 環の準同型定理

定理5.3.25 中国の剰余定理II

定理5.3.31 中国の剰余定理III

5.4 既約剰余類群

表5.4.2 ℤ/5ℤの演算表

表5.4.3 ℤ/6ℤの演算表

群論の初歩

系5.4.44 ラグランジュの定理

定義5.4.52 群の準同型写像

定理5.4.59 群の準同型定理

図5.4.61 群の準同型定理

オイラーの定理

定理5.4.79 オイラー

系5.4.82 フェルマーの小定理

久留島義太の業績

5.5 乗法的関数

表5.5.5 9以下のσ0,σ1,σ2関数値

完全数とメルセンヌ素数

メービウスの反転公式

命題5.5.30 メービウスの反転公式

命題5.5.33 メービウスの反転公式

表5.6.6 法5の2を底とする指数表

既約剰余類群の構造

図5.6.15 (ℕ,|)と(ℑ(ℤ),⊆)の双対性

命題5.6.18 対数法則

図5.6.23 ℤ/6ℤの部分群の成す束

ℤ/pℤの既約剰余類群の構造

ℤ/p^eℤの既約剰余類群の構造

ℤ/2^eℤの既約剰余類群の構造

表5.6.42 ℤ/4ℤの乗算表

表5.6.60 法13の2を底とする指数表

ウィルソンの定理

定理5.6.67 ウィルソンの定理

命題5.6.70 ウィルソンの素数判定法

5.7 原始根の計算

Published by SANENSYA Co.,Ltd.