平面上の変換、すなわち平面を点集合Eと考えたときのEからEへの全単射が、アフィン変換あふぃんへんかん, affine transformationであるとは、直線が直線に写され、さらに直線図形における辺の平行性が保存されることです。言い換えれば、平行四辺形を平行四辺形に写すことであるといってもかまいません。

 アフィン変換の例としてよく挙げられるのが源氏物語絵巻における遠近法です。西洋の遠近法は射影変換を使うために遠くのものが小さく描かれますが、源氏物語絵巻においては遠近感を出すために長方形の部屋が平行四辺形に変形されますが、遠くのものと近くのものが同じ大きさに見えます。

 平行性の保存によって同値な有向線分が同値な有向線分に写されることから、アフィン変換は平面に付随するベクトル空間の変換を誘導します。

 平面(E,V²)上にアフィン変換f:E → Eが与えられたとき、ベクトル空間V²のベクトルaに属する二つの有向線分AB,CD ∈ aにおいて端点の像をf(A)=E, f(B)=F, f(C)=G, f(D)=Hとすれば、有向線分の像はEF,GHとなりますが、平行四辺形ABCDの像EFGHは平行四辺形ですから、 が成り立ちます。そこでφ(a) := [EF]と 定めるとφは有向線分の同値類、すなわりベクトルに対して定義され、 写像φ:V² → V²を定めます。

 アフィン変換fに誘導された写像φは加法を保存します。これは、原点Oを始点とする二つの有向線分OP,OQについて、 とし、各端点の像をf(O)=S, f(P)=T, f(Q)=U, f(R)=Vとすれば、平行四辺形OPRQの像STVUは平行四辺形ですから、 が成り立ち、 が導かれるからです。

 さらに、アフィン変換fを平面内の直線αに制限したとき、写像φはその直線に付随するベクトル空間V_αから直線f(α)に付随するベクトル空間V_f(α)への変換を誘導しますが、加法保存性から、 と整数倍を保存することがわかり、このことから任意の二つのベクトルa,b ∈ V_αについて、 が成り立ちます。なぜならば、任意の整数m,nについて、 となり、 が成り立つからです。順序関係の保存は包含関係の保存からわかりますから、写像φは直線上のベクトル比を保存します。

 これで写像φがベクトル空間V²上の線形変換であることがわかりましたが、アフィン変換fが全単射であることから、0でないベクトルが0に写されることはなく、φは正則です。すなわち、次の命題が証明されました。

 また、この証明の途中で次の補題が成り立つこともわかりました。

 平面(E,V²)上のアフィン変換全体の集合は写像の合成に関して群を成しますが、これをアフィン変換群あふぃんへんかんぐん, affine transformation groupと呼び、Affine(E)と書くことにします。

 平面上の平行移動はアフィン変換であり、平行移動全体Trans(E)はアフィン変換群Affine(E)の正規部分群になり、平行移動群へいこういどうぐん, parallel translation groupと呼ばれます。原点Oを固定するアフィン変換全体のなす固定部分群をG_Oで表します。アフィン変換fが与えられたとき、原点Oのfによる像をO'=f(O)とし、O'をOに写す平行移動をt ∈ Trans(E)とすると、 は原点Oを固定し、しかもアフィン変換の合成ですから固定部分群G_Oに含まれます。したがって、 と平行移動と原点を固定するアフィン変換に分解されます。この分解は一意的です。なぜならば、 であれば、 となり、Trans(E) ∩ G_O = { 1 }より、t₁ = t₂, g₁ = g₂が成り立つからです。これを補題としてまとめておきます。

 アフィン変換fに誘導される線形変換をφとしたとき、平面上の点Pに対して、 と定義すると、f_Oは原点Oを固定するアフィン変換であり、O'=f(O)をOに写す平行移動をt ∈ Trans(E)とすると、 と分解されます。さらにこれにより、任意の正則な線形変換から原点を固定するアフィン変換が誘導されることもわかりました。

 アフィン変換を座標を使って表現してみましょう。平面(E,V²)において正規直交座標系(O;e₁,e₂)を固定して考えます。アフィン変換f:E → Eが与えられたとして、それに誘導される線形変換をφ:V² → V²とし、座標原点と基底の像を座標表現します。 任意の点Pを与え、その点Pと像f(P)を座標表現します。 f(P)の座標表現を計算します。 係数を比較すると変換前後の座標の関係がわかります。 これを行列表現します。 これは次のようにまとめて(3,3)行列で表現することができます。 アフィン変換群Affine(E)は正規直交座標系を定めたときに次のように行列表現できることがわかりました。 ここでGL(2,ℝ)は実数上の(2,2)正則行列全体のなす群です。Affine(E)はGL(3,ℝ)の部分群でもあります。

 このアフィン変換によって、正規直交座標系(O;e₁,e₂)を座標変換してみます。 とおくと、(O';e₁',e₂')は一般には正規直交性を満たしませんが、平面の座標系となります。2.3節の結果により、任意の点Pを与え、その(O;e₁,e₂)による座標を(p₁, p₂)、(O';e₁',e₂')による座標を(p₁', p₂')とすると、次が成り立ちます。 これによりアフィン変換を与えたときに、それによる図形変換と座標変換は互いに逆変換になっていることがわかります。