3.1節 群論からの準備
著者:梅谷 武
語句:群, 同型写像, 自己同型, 内部自己同型, 半直積
群の作用と自己同型群、半直積についてまとめる。
作成:2009-09-05
更新:2021-03-28
3.1 群論からの準備
3.1.1 はじめに
3.1.2 群の作用と自己同型群
 群論の初歩はすでに学んでいるものと仮定しますが、使う用語については簡単に復習しながら進めることにしましょう。

定義3.1.2.2 群

集合Gが群ぐん, groupであるとは、その二元a, bについて乗法ab ∈ Gが定義されており、次の性質を満たすことをいう。
(結合律) 任意の三元a,b,cについて(ab)c = a(bc)
(単位元) 単位元1 ∈ Gが存在し、任意の元aについてa1 = 1a = a
(逆元) 任意の元aについて逆元a-1が存在してaa-1 = a-1a = 1
さらに次の可換律を満たすとき可換群かかんぐん, commutative groupという。
(可換律) 任意の２元a,bについてab = ba
 乗法を加法に置き換えた加法群も定義しておきます。

定義3.1.2.4 加法群

集合Gが加法群かほうぐん, additive groupあるいは加群かぐん, moduleであるとは、その二元a, bについて加法a + b ∈ Gが定義されていて次の性質を満たすことをいう。
(結合律) 任意の３元a,b,cについて(a + b) + c = a + (b + c)
(零元) 零元0 ∈ Gが存在し、任意の元aについてa + 0 = 0 + a = a
(逆元) 任意の元aについて逆元-aが存在してa + (-a) = (-a) + a = 0
(可換律) 任意の２元a,bについてa + b = b + a
 これから平面や空間に作用する変換群について考えますが、まず群が集合に作用するということを定義しておきます。この概念は最初にバーンサイドが『有限群論』で抽象的に群を定義したときに用いたもので、群の実相をより具体的に示すものです。

定義3.1.2.6 群の集合への作用

群Gが集合Ωに左から作用するとは、G × ΩからΩへの写像
G × Ω longrightarrow Ω,  (g,x) longmapsto g ∘ x
が定義されていて、次の性質を満たすことをいう。
(1) g ∈ Gを固定したときx ↦ g ∘ xは全単射である。
(2) 1 ∈ Gと任意の元x ∈ Ωについて1 ∘ x = x
(3) Gの任意の二元g,hと任意の元x ∈ Ωについて(gh) ∘ x = g ∘ (h ∘ x)
群Gが集合Ωに右から作用するとは、Ω × GからΩへの写像
Ω × G longrightarrow Ω, (x,g) longmapsto x ∘ g
が定義されていて、次の性質を満たすことをいう。
(4) g ∈ Gを固定したときx ↦ x ∘ gは全単射である。
(5) 1 ∈ Gと任意の元x ∈ Ωについてx ∘ 1 = x
(6) Gの任意の二元g,hと任意の元x ∈ Ωについてx ∘ (gh) = (x ∘ g) ∘ h)
 左からの作用と右からの作用の違いに注意してください。可換群、特に加法群については左からの作用と右からの作用の意味が一致します。
 群Gから群G'への写像f:G → G'が、任意のa,b ∈ Gに対して、
f(ab) = f(a)f(b)
という条件を満たすとき準同型写像じゅんどうけいしゃぞう, homomorphismといい、さらに全単射であるとき同型写像どうけいしゃぞう, isomorphismといいます。
 集合Ω上の全単射全体の集合は写像の合成により群となりますが、これをS(Ω)と書くことにします。群Gが集合Ωに左から作用するということは、群Gから群S(Ω)への準同型を与えることと同じことです。
 GからG'への同型写像が存在するときにGとG'は同型どうけい, isomorphicであるといい、G ≅ G'と書きます。群Gの自己同型写像じこどうけいしゃぞう, automorphism、すなわち自分自身への同型写像全体の集合をAut(G)と書きます。これは写像の合成に関して群をなすので、Gの自己同型群じこどうけいぐん, automorphism groupと呼ばれます。
 群Kから群Hの自己同型群Aut(H)への準同型ℐが与えられたとしましょう。
ℐ : K longrightarrow Aut(H),  k longmapsto ℐk
準同型ですから、
ℐk1 k2 = ℐk1 ℐk2
が成り立ち、KのHへの左からの作用が自然に定義されます。
K × H longrightarrow H,  (k,h) longmapsto k ∘ h := ℐk(h)
これを群の群への作用と定義します。群の集合への作用よりも条件が強くなっていることに注意してください。
 群Gを次のように群Gに作用させます。
G × G longrightarrow G,  (g,x) longmapsto g ∘ x := Ig(x) := gxg-1
このとき、Igは自己同型となりますが、これをGの内部自己同型ないぶじこどうけい, inner automorphismと呼びます。
I : G longrightarrow Aut(G),  g longmapsto Ig
は準同型となり、その像Inn(G)は内部自己同型群ないぶじこどうけいぐん, inner automorphism groupと呼ばれます。
3.1.3 群の半直積
 群の半直積の概念はややわかりにくいのですが、変換群の構造を理解するためには避けては通れない部分ですので、ここでは計算の過程を示しながら説明していきます。
 群Kが群Hへ左から作用しているとき、直積集合G = H × Kにおける乗法を上の記号を使って次のように定義します。
(h1,k1)(h2,k2) := (h1 ℐk1(h2), k1 k2 )
これが群となることを確かめましょう。結合律を示します。
      ((h1,k1)(h2,k2))(h3,k3)
=
(h1 ℐk1(h2), k1 k2 )(h3,k3)
=
(h1 ℐk1(h2)ℐk1k2(h3), k1 k2 k3 )
=
(h1 ℐk1(h2) ℐk1ℐk2(h3)), k1 k2 k3 )
=
(h1 ℐk1(h2 ℐk2(h3)), k1 k2 k3 )
=
(h1,k1)(h2 ℐk2(h3), k2 k3 )
=
(h1,k1)((h2,k2)(h3,k3))
単位元は(1,1)で、(h,k)の逆元は(ℐk-1(h-1),k-1)となります。
(h,k)(ℐk-1(h-1),k-1)
=
(h ℐkℐk-1(h-1), k k-1)
=
(h ℐkk-1(h-1), 1) = (1, 1)
(ℐk-1(h-1),k-1)(h,k)
=
(ℐk-1(h-1) ℐk-1(h) , k-1 k)
=
(ℐk-1(h-1 h), 1) = (1, 1)
HはGの正規部分群になっています。
(h,k)(x,1)(ℐk-1(h-1),k-1)
=
(h ℐk(x), k)(ℐk-1(h-1),k-1)
=
(h ℐk(x) ℐkℐk-1(h-1), k k-1)
=
(h ℐk(x) h-1, 1)
KはGの正規部分群であるとは限りません。
(h,k)(1,y)(ℐk-1(h-1),k-1)
=
(h ℐk(1), ky)(ℐk-1(h-1),k-1)
=
(h ℐkyℐk-1(h-1), k y k-1)
=
(h ℐkyk-1(h-1), k y k-1)
 ここまでの結果を命題としてまとめておきます。

命題3.1.3.4 群の半直積

群Kが群Hへ左から作用しているとき、すなわち、群Kから群Hの自己同型群Aut(H)への準同型ℐが与えられているとき、直積集合G = H × Kにおける乗法を次のように定義すると群になる。
(h1,k1)(h2,k2) := (h1 ℐk1(h2), k1 k2 )
このとき、HはGの正規部分群でG/H ≅ Kとなる。群GをHとKの半直積はんちょくせき, semidirect productといい、G = H ⋊ Kと書く。
 ある群が二つの部分群の半直積になっていることを確認する方法について次に述べます。

命題3.1.3.6 半直積分解条件

群Gの正規部分群Hと部分群Kが次の条件を満たしているとする。
(1) G = HK := {hk|h ∈ H, k ∈ K}
(2) H ∩ K = { 1 }
Kを内部自己同型IkによりHに作用させて半直積H ⋊ Kを作ったとき、
H ⋊ K longrightarrow G, (h,k) longmapsto hk
は同型となる。

証明

準同型であること：
(h1,k1)(h2,k2)
=
(h1 Ik1(h2), k1 k2)
=
(h1 k1 h2 k1-1, k1 k2)
(1)は全射であることを意味しているから単射であることを示す。h1k1=h2k2ならば、h2-1h1 = k2-1k1 ∈ H ∩ Kであるから、(2)よりh1=h2, k1=k2■
3.1.4 参考文献
[1] 平井 武, 線形代数と群の表現(I), 朝倉書店, 2001
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[2] 平井 武, 線形代数と群の表現(II), 朝倉書店, 2001
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[3] 原田 耕一郎, 群の発見, 岩波書店, 2001
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[4] 寺田 至, 原田 耕一郎, 群論, 岩波書店, 2006
数　　学
群 ぐん, group
可換群 かかんぐん, commutative group
加法群 かほうぐん, additive group
加群 かぐん, module
準同型写像 じゅんどうけいしゃぞう, homomorphism
同型写像 どうけいしゃぞう, isomorphism
同型 どうけい, isomorphic
自己同型写像 じこどうけいしゃぞう, automorphism
自己同型群 じこどうけいぐん, automorphism group
内部自己同型 ないぶじこどうけい, inner automorphism
内部自己同型群 ないぶじこどうけいぐん, inner automorphism group
半直積 はんちょくせき, semidirect product
 
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