5.5節 χ2分布
著者:梅谷 武
語句:χ2分布
χ2分布について述べる。
作成:2012-02-18
更新:2012-02-26
a = n/2, b = 2, n ∈ とするときのΓ分布
χ2(n) Γlb48
n
2
, 2 rb48,  n ∈
を自由度nχ2分布かいじじょうぶんぷ, χ2 distributionという。

密度関数

fn(x) lc96
1
2n/2Γ(n/2)
xn/2-1e-x/2,
x
0
0,
x
0

平均

m = n

分散

σ2 = 2n
χ2分布χ(n)に従う確率変数Xの積率母関数を求める。
α
n
2
,  β
1
2
とおく。
MX(t)
=
1
2αΓ(α)

 
0
e-(β-t)xxα-1dx
=
1
2αΓ(α)(β-t)α-1

 
0
e-(β-t)x{(β-t)x}α-1dx
ここでy (β-t)xとおくと、x = y/(β-t)であり、
MX(t)
=
1
2αΓ(α)(β-t)α

 
0
e-yyα-1dy
=
1
2α(β-t)α
= (2β-2t)-α = (1-2t)-n/2

積率母関数

MX(t) = (1-2t)-n/2

定理5.5.4.1 χ2分布の再生性

 独立な確率変数X, Yがそれぞれχ2分布χ2(n1), χ2(n2)に従っているとき、それらの和Z X + Yχ2分布χ2(n1+n2)に従う。

証明

MZ(t) = MX(t)MY(t) = (1-2t)-(n1+n2)/2

補題5.5.5.1

 確率変数Xが標準正規分布N(0,1)に従うとき、確率変数Y = X2χ2分布χ2(1)に従う。

証明

μXは次の密度関数f(x)をもつ。
f(x) =
1
exp lb48
x2
2
rb48
P(Y ≦ y) = P(-y ≦ x ≦ y)より、
P(Y ≦ y) =
y
 
y
f(x)dx
= 2
y
 
0
f(x)dx
ここで変数変換y = x2を行なう。y ≧ 0x = yを逆関数としてもつから、
P(Y ≦ y) =
y
 
0
f(y)y-1/2dy
となり、確率変数Yは次の密度関数g(y)をもつ。
g(y) =
1
e-y/2y-1/2
ここで、変数変換x = t2により
Γlb48
1
2
rb48 =

 
0
x-1/2e-xdx
= 2

 
0
e-t2dt
= π
よってg(y)Γ(1/2,2)すなわちχ2(1)の密度関数である。
g(y) =
1
21/2Γ(1/2)
y-1/2e-y/2

定理5.5.5.3 正規分布の平方和

 独立な確率変数Xi, i = 1,⋯,nがそれぞれ正規分布N(mii2)に従っているとき、それらを標準化した平方和
Y =
n

i = 1
(Xi-mi)2
σi2
は自由度nχ2分布χ2(n)に従う。

証明

Xi-mi
σi
,  i = 1,⋯,n
が標準正規分布N(0,1)に従うこととχ2分布の再生性より。■
χ2(n), n = 2, 3, 4, 5を描く。
x <- seq( 0, 20, 0.1 )
plot( x, dchisq( x, 2, log=FALSE ),
type="l", xlab="", ylab="" )
points( x, dchisq( x, 3, log=FALSE ), type="l", col="red" )
points( x, dchisq( x, 4, log=FALSE ), type="l", col="green" )
points( x, dchisq( x, 5, log=FALSE ), type="l", col="blue" )
legend( 15, 0.5,
legend = c( "n = 2", "n = 3", "n = 4", "n = 5" ),
col = c("black","red","green","blue"),
lty = 1 )
数  学
χ2分布 かいじじょうぶんぷ, χ2 distribution