5.4節 Γ分布
著者:梅谷 武
語句:Γ分布
Γ分布について述べる。
作成:2012-02-18
更新:2012-02-26
a, b > 0を定数とするとき、(,B1)上の次の密度関数fが定める分布をΓ分布がんまぶんぷ, Γ distributionといい、Γ(a,b)で表わす。

密度関数

f(x) lc96
1
baΓ(a)
xa-1e-x/b,
x
0
0,
x
0
 これが確率測度を定めること、すなわち

 
0
f(x)dx
=
1
baΓ(a)

 
0
xa-1e-x/bdx
= 1
が成り立つことは、x/b = yとおくと

 
0
xa-1e-x/bdx
=

 
0
(by)a-1e-ybdy
= ba

 
0
ya-1e-ydy
= ba Γ(a)
となることからわかる。
x/b = yとおくと

 
0
xae-x/bdx
=

 
0
(by)ae-ybdy
= ba+1

 
0
y(a+1)-1e-ydy
=
ba+1Γ(a+1) = ba+1aΓ(a)
より

平均

m =
1
baΓ(a)

 
0
xae-x/bdx
= ba
x/b = yとおくと

 
0
xa+1e-x/bdx
=

 
0
(by)ae-ybdy
= ba+2

 
0
y(a+2)-1e-ydy
=
ba+2Γ(a+2) = ba+2a(a+1)Γ(a)
より
1
baΓ(a)

 
0
xa+1e-x/bdx
= b2a(a+1)
したがって

分散

σ2 = b2a(a+1) - b2a2 = b2a
Γ(a,b), a = 1, 2, 3, 4, b = 1を描く。
x <- seq( 0, 10, 0.1 )
plot( x, dgamma( x, 1, scale=1, log=FALSE ),
type="l", xlab="", ylab="" )
points( x, dgamma( x, 2, scale=1, log=FALSE ), type="l", col="red" )
points( x, dgamma( x, 3, scale=1, log=FALSE ), type="l", col="green" )
points( x, dgamma( x, 4, scale=1, log=FALSE ), type="l", col="blue" )
legend( 7, 1,
legend = c( "a = 1, b = 1", "a = 2", "a = 3", "a = 4" ),
col = c("black","red","green","blue"),
lty = 1 )
数  学
Γ分布 がんまぶんぷ, Γ distribution