4.5節 Poisson分布
著者:梅谷 武
語句:Poisson分布
成功確率が小さく試行回数が多い場合の二項分布の近似であるPoisson分布について述べる。
作成:2012-01-26
更新:2012-03-10
 可測空間(,B1)上の次の離散分布をPoisson分布ぽあそんぶんぷ, Poisson distributionといい、P(λ)で表わす。

分布



k = 0
e-λ
λk
k!
δk
 これが一次元離散分布になっていることは


k = 0
e-λ
λk
k!
= e-λ


k = 0
λk
k!
= e-λeλ = 1
からわかる。

平均

m =


k = 0
ke-λ
λk
k!
= λ


k = 1
e-λ
λk-1
(k-1)!
= λ


k = 0
e-λ
λk
k!
= λ
分散はσ2 = E[x2] - E[x]2により計算する。
E[x2]
=


k = 0
k2e-λ
λk
k!
= λ


k = 1
ke-λ
λk-1
(k-1)!
=
λ


k = 1
(k-1)e-λ
λk-1
(k-1)!
+ λ


k = 1
e-λ
λk-1
(k-1)!
=
λ2 + λ
よって、次のようになる。

分散

σ2 = λ2 + λ - λ2 = λ

定理4.5.3.1 Poisson分布の再生性

 独立な確率変数X, YがそれぞれPoisson分布P(λ1), P(λ2)に従っているとき、それらの和Z X + YはPoisson分布P(λ12)に従う。

証明

P(Z = k)
=
k

j = 0
P(X = j)P(Y = k-j)
=
k

j = 0
λ1j
j!
e-λ1
λ2k-j
(k-j)!
e-λ2
=
e-(λ1+λ2)
k!
k

j = 0
k!
j!(k-j)!
λ1jλ2k-j
=
e-(λ1+λ2)
1+λ2)k
k!
 二項分布列Bin(n,p(n)), 0 < p(n) < 1
n∙p(n) longrightarrow λ, p(n) longrightarrow 0 (n → ∞)
の極限はPoisson分布P(λ)になっている。
Bin(n,p(n))の分布は
μn =
n

k = 0
(n
k
)
p(n)kq(n)n-kδk
であるから、次の命題によりBin(n,p(n))P(λ)に弱収束することがわかる。

定理4.5.4.3 Poisson

0 < p(n) < 1, q(n) 1 - p(n), n ∈
n∙p(n) longrightarrow λ, p(n) longrightarrow 0 (n → ∞)
ならば、任意のk ∈ ∪ {0}に対して次が成り立つ。
 
lim
n → ∞
(n
k
)
p(n)kq(n)n-k
= e-λ
λk
k!

証明

Pn(k)
(n
k
)
p(n)kq(n)n-k, k = 0, 1, ⋯, n
とおくと
Pn(k)
Pn(0)
=
k-1

m = 0
Pn(m+1)
Pn(m)
ここで、詳細は省略するが
 
lim
n → ∞
Pn(m+1)
Pn(m)
=
λ
m + 1
より
 
lim
n → ∞
Pn(k)
Pn(0)
=
k-1

m = 0
λ
m + 1
=
λk
k!
であり、さらに
 
lim
n → ∞
Pn(0)
=
 
lim
n → ∞
lb48 1 -
λ
n
rb48
= e-λ
より
 
lim
n → ∞
Pn(k)
= e-λ
λk
k!
Xi, i = 1,2,⋯をPoisson分布P(λ)に従う独立な確率変数列とすると
Sn = X1 + X2 + ⋯ + Xn,  n = 1,2,⋯
はPoisson分布の再生性によりP(nλ)に従う。中心極限定理から
Sn - nλ
は標準正規分布N(0,1)に法則収束する。このことから、nが大きければP(nλ)は正規分布N(nλ,nλ)で近似できることがわかる。λに置き換えることにより次の命題が得られる。

命題4.5.5.2

λが大きいときPoisson分布P(λ)は正規分布N(λ,λ)で近似できる。
P(λ), λ = 1, 5, 10, 15, 20, 25を描く。
k <- 0:50
plot( k, dpois( k, lambda=1 ), type="l", xlab="", ylab="" )
points( k, dpois( k, lambda= 5 ), type="l", col="red")
points( k, dpois( k, lambda=10 ), type="l", col="yellow")
points( k, dpois( k, lambda=15 ), type="l", col="green")
points( k, dpois( k, lambda=20 ), type="l", col="cyan")
points( k, dpois( k, lambda=25 ), type="l", col="blue")
legend( 35, 0.35,
legend = c( "λ = 1", "λ = 5", "λ = 10", "λ = 15",
"λ = 20", "λ = 25" ),
col = c("black","red","yellow","green","cyan","blue"),
lty = 1 )
P(20)Bin(50,0.4),Bin(100,0.2),Bin(200,0.1),Bin(400,0.05)を比較する。
k <- 0:40
plot( k, dbinom( k, 50, prob=0.4 ), type="l", xlab="", ylab="",
lty="dotted" )
points( k, dpois( k, lambda= 20 ), type="l")
points( k, dbinom( k, 100, prob=0.2 ), type="l", col="red",
lty="dotted" )
points( k, dbinom( k, 200, prob=0.1 ), type="l", col="green",
lty="dotted" )
points( k, dbinom( k, 400, prob=0.05 ), type="l", col="blue",
lty="dotted" )
legend( 30, 0.11,
legend = c( "n = 50", "n = 100", "n = 200", "n = 400" ),
col = c("black","red","green","blue"),
lty = "dotted" )
legend( 0, 0.11,
legend = c( "λ = 20" ),
col = c("black"),
lty = 1 )
P(λ)N(λ,λ)を比較する。λ = 5,10,20,30
k <- 0:60
plot( k, dpois( k, lambda=5 ), type="l", xlab="", ylab="" )
points( k, dnorm( k, 5, sqrt(5) ), type="l" )
points( k, dpois( k, lambda=10 ), type="l", col="red")
points( k, dnorm( k, 10, sqrt(10) ), type="l", col="red")
points( k, dpois( k, lambda=20 ), type="l", col="green")
points( k, dnorm( k, 20, sqrt(20) ), type="l", col="green")
points( k, dpois( k, lambda=30 ), type="l", col="blue")
points( k, dnorm( k, 30, sqrt(30) ), type="l", col="blue")
legend( 45, 0.16,
legend = c( "λ =  5", "λ = 10", "λ = 20", "λ = 30" ),
col = c("black","red","green","blue"),
lty = 1 )
数  学
Poisson分布 ぽあそんぶんぷ, Poisson distribution