4.3節 二項分布
著者:梅谷 武
語句:Bernoulli試行列,二項分布
有限なBernoulli試行列とその成功回数により定まる二項分布について述べる。
作成:2012-01-21
更新:2012-02-26

定義4.3.1.1 Bernoulli試行列

 成功確率pのBernoulli試行を独立に繰り返す試行列をBernoulli試行列べるぬーいしこうれつ, Bernoulli trialsという。
 成功確率p、長さnのBernoulli試行列について考える。

標本空間

ΩBn { (ω1, ⋯, ωn) | ωi ∈ ΩB = {0,1}, i = 1,⋯,n }

事象族

FBn
n

k = 1
FB
 各根元事象に対する確率は次のようになる。
p(ω1, ⋯, ωn) = prqn-r, r
n

k = 1
ωk

確率測度

PBn(A)
 

1,⋯,ωn) ∈ A
p(ω1, ⋯, ωn)
, A ∈ FBn
Bn,FBn,PBn)上の実確率変数Snとして成功した回数を考える。これはXk, k = 1,⋯,nk番目の成分への射影pkとBernoulli分布の確率変数Xとの合成
Xk1, ⋯, ωn) (X ∘ pk)(ω1, ⋯, ωn) = X(ωk)
とするとき、それらの和に等しい。

確率変数

Sn1, ⋯, ωn)
n

k = 1
Xk1, ⋯, ωn)
 分布μSn二項分布にこうぶんぷ, binomial distributionといい、Bin(n,p)で表わす。Bin(1,p)はBernoulli分布である。

分布

μSn =
n

k = 0
(n
k
)
pkqn-kδk

平均

    m
=
 
 

x lb36
n

k = 0
(n
k
)
pkqn-kδk
rb36(dx)
=
n

k = 1
k
(n
k
)
pkqn-k = np
n-1

i = 0
(n-1
i
)
piq(n-1)-i = np
 分散はσ2 = E[X2] - E[X]2により計算する。
E[X2]
=
 
 

x2 lb36
n

k = 0
(n
k
)
pkqn-kδk
rb36(dx)
=
n

k = 1
k2
(n
k
)
pkqn-k = np
n-1

i = 0
(i+1)
(n-1
i
)
piq(n-1)-i
=
np
n-1

i = 0
i
(n-1
i
)
piq(n-1)-i
+ np
n-1

i = 0
(n-1
i
)
piq(n-1)-i
=
np(n-1)p + np = n(n-1)p2 + np

分散

σ2 = E[X2] - E[X]2 = n(n-1)p2 + np - n2p2 = np(1-p) = npq

定理4.3.4.1 二項分布の再生性

 独立な確率変数X, Yがそれぞれ二項分布に従うものとする。
μX =
n

k = 0
(n
k
)
pkqn-kδk
,  n > 0
μY =
m

k = 0
(m
k
)
pkqm-kδk
,  m > 0
このときそれらの和Z X + Yも二項分布に従う。
μZ =
n + m

k = 0
(n + m
k
)
pkqn+m-kδk

証明

P(Z = k)
=
k

j = 0
P(X = j)P(Y = k-j)
=
k

j = 0
(n
j
)
pjqn-j
(m
k-j
)
pk-jqm-k+j
=
k

j = 0
(n
j
)
(m
k-j
)
pkqn+m-k
=
(n+m
k
)
pkqn+m-k
Bin(n,0.3), n = 10, 20, 30, 40, 50, 60を描く。
k <- 0:50
plot( k, dbinom( k, 10, prob=0.3 ), type="l", xlab="", ylab="" )
points( k, dbinom( k, 20, prob=0.3 ), type="l", col="red")
points( k, dbinom( k, 30, prob=0.3 ), type="l", col="yellow")
points( k, dbinom( k, 40, prob=0.3 ), type="l", col="green")
points( k, dbinom( k, 50, prob=0.3 ), type="l", col="cyan")
points( k, dbinom( k, 60, prob=0.3 ), type="l", col="blue")
legend( 40, 0.25,
legend = c( "n = 10", "n = 20", "n = 30", "n = 40",
"n = 50", "n = 60" ),
col = c("black","red","yellow","green","cyan","blue"),
lty = 1 )
数  学
Bernoulli試行列 べるぬーいしこうれつ, Bernoulli trials
二項分布 にこうぶんぷ, binomial distribution